A fifth necessary condition for a strong extremum of the integral \(\int_{x_0}^{x_1}F(x,y,y')\,dx\). (Q1497178)

In einer früheren Mitteilung (Amer. M. S. Bull. 9, 1, 1902) hatte der Verf. an dem Beispiele \[ I=\int_{x_0}^{x_1}(ay^{'2}-4byy^{'3}+2bxy^{'4})\,dx \] \[ [a>0,\,\,b>0;\,\,(x_0,y_0)=(0,0);\,\,(x_1,y_1)=(1,0)] \] gezeigt, daß die Bedingungen von \textit{Euler, Legendre, Jacobi} und \textit{Weierstraß} nicht hinreichend sind für ein starkes Minimum des Integrales \[ I=\int_{x_0}^{x_1}F(x,y,y')\,dx. \] Die vorliegende Abhandlung ist nun der Aufstellung einer fünften notwendigen Bedingung gewidmet. \({\mathfrak F}_0\) sei ein durch die Punkte \(P_0(x_0,y_0)\) und \(P_1(x_1,y_1)\) gehender Extremalenbogen, für den die \textit{Legendre}sche und die \textit{Jacobi}sche Bedingung erfüllt sind; zieht man dann durch einen auf \({\mathfrak F}_0\) zwischen \(P_0\) und \(P_1\) gelegenen Punkt \(P_2\) eine Gerade, die gegen \({\mathfrak F}_0\) den Richtungskoeffizienten \(\frac kh\;(h\) eine kleine positive Größe) hat, und verbindet man den Punkt \(P_3\) auf dieser Geraden, dessen Abszisse \(x_3=x_2-h\) und dessen Ordinate \(y_3=y_2-k\) ist, so erhält man die \textit{Weierstraß}sche Bedingung, indem man den Bogen \({\mathfrak F}_0\) so variiert, daß der Bogen \(P_0P_2\) durch die geknickte Kurve \(P_0P_3P_2\) ersetzt, \(P_3P_1\) aber unverändert gelassen wird, und dann \(P_3\) auf der Geraden \(P_3P_2\) sich \(P_2\) annähern läßt. Statt dessen dreht der Verf. die Gerade \(P_3P_2\) um den Punkt \(P_2\), so daß sie sich der zur \(y\)-Achse parallelen Lage nähert, während der Punkt \(P_3\) sich auf einer Parallelen zur \(x\)-Achse bewegt (d. h. bei festem \(k\) nähert sich \(h\) der Null). Bei diesem Grenzprozeß hat die totale Variation \(\varDelta I\), ausgedrückt durch die \textit{Weierstraß}sche \(E\)-Funktion, sicher einen ``unteren Limes'' (oder ``untere Unbestimmtheitsgrenze'') \(\underline{\mathbf L}\), der, wenn \(I\) ein Minimum werden soll, für alle hinreichend kleinen Werte von \(|k|\) \,\,\,\,\(\geq 0\) sein muß. Ganz dieselben Betrachtungen kann man auch auf dieExtramalenschar durch den Punkt \(P_1\) und die Variation \(P_2P_4P_1\), wo \(P_4\) die Koordinaten \(x_2+h\), \(y_2+k\) hat, anwenden. Es ergibt sich so als fünfte motwendige Bedingung für ein starkes Minimum: \[ \begin{multlined} \underline{\mathbf L}_{h=+0} \int_0^1 hF\left( x_2+\varepsilon_{\lambda}ht,y_2+\varepsilon_{\lambda}kt,\frac kh\right) dt \\ -k\int_0^1 F_{y'}[x_2,y_2+\varepsilon_{\lambda}kt,p^{\lambda}(x_2,y_2+\varepsilon_{\lambda} kt)]\,dt\geq 0, \end{multlined} \] für \(\lambda =0,1\), wenn \(x_0<x_2<x_1\); für \(\lambda =0\), wenn \(x_2=x_1\); für \(\lambda =1\), wenn \(x_2=x_0\). In dieser Ungleichung ist \(\varepsilon_0=-1\), \(\varepsilon_1=+1\) zu setzen und bezeichnet \(p^{\lambda}(x,y)\) das Gefälle im Punkte \((x,y)\) derjenigen durch diesen Punkt gehenden Extremale, die dem von den Extremalen durch den Punkt \(P_{\lambda}\) gebildeten Felde angehört. Dieser Bedingung gibt der Verf. noch die andere Gestalt, daß für ein starkes Minimum \[ \overset {+} G_{\lambda}(x_2)-F_{y'}(x_2,y_2,y_2')\geq 0, \] \[ \overset {-} G_{\lambda} (x_2)-F_{y'}(x_2,y_2,y_2')\leq 0 \] sein muß, wo gesetzt ist \[ \frac 1k \underline{\mathbf L}_{h=+0}\,\int_0^1hF\left( x_2+\varepsilon_{\lambda}ht, y_2+\varepsilon_{\lambda}kt,\frac kh\right) dt=U_{\lambda}(k,x_2), \] \[ \underline{\mathbf L}_{k=-0}\, U_{\lambda}(k,x_2)=\overset {+} G_{\lambda} (x_2),\quad \underline{\mathbf L}_{k=+0}\, U_{\lambda }(k,x_2)=\overset {-} G_{\lambda}(x_2). \] Gilt in einer dieser Bedingungen das Gleichheitszeichen, so tritt noch eine Zusatzbedingung hinzu. Dann untersucht der Verf. noch den speziellen Fall, daß die Funktion \(F(x,y,p)\) in der Nähe von \(p=\pm\infty\) die Entwicklung in eine Potenzreihe nach Potenzen von \(x-x_2\), \(y-y_2,\frac 1p\) zuläßt, da sich für diesen Fall die Funktionen \(U,G\) und eine in der Zusatzbedingung vorkommende Funktion \(H\) leicht berechnen lassen. Zum Schlusse werden außer dem eingangs erwähnten Beispiele noch einige andere behandelt. Ob die so gefundene fünfte notwendige Bedingung (eventuell nach Unterdrückung des Gleichheitszeichens) im Vereine mit den Bedingungen von \textit{Euler, Legendre, Jacobi} und \textit{Weierstraß} auch hinreichend für ein starkes Extremum ist, bedarf noch der weiteren Untersuchung.