\textit{Weierstraß}' theorem and \textit{Kneser}'s theorem on transversales for the most general case of an extremum of a simple definite integral. (Q1497179)

Angeregt durch die Untersuchungen von \textit{A. Mayer} (Leipz. Ber. 1903 u. 1905, vgl. oben S. 390), in denen er die \textit{Hilbert}sche Theorie auf das sogenannte allgemeinste Problem der Variationsrechnung ausgedehnt hat, gibt der Verf. in der vorliegenden Abhandlung eine analoge Erweiterung der ursprünglichen \textit{Weierstraß}schen Theorie und der \textit{Kneser}schen Extremalentheorie auf das gleiche Problem. Besonderes Gewicht hat der Verf. darauf gelegt, in der Untersuchung des allgemeinsten Falles den gleichen Grad von Strenge zu erreichen, der für die einfachste Gattung von Problemen erzielt worden ist. Deshalb gibt er zunächst in den beiden ersten Paragraphen gewisse Existenztheoreme über implizite Funktionen und Systeme von Differentialgleichungen für die Nachbarschaft einer Punktmenge, da diese Sätze sonst nur für die Nachbarschaft eines Punktes aufgestellt zu werden pflegen. Ist das Integral, welches zu einem Minimum zu machen ist, \[ I=\int_{x_0}^{x_1}f(x,y_1,\dots ,y_n;y_1',\dots ,y_n')\,dx, \] wo die zu bestimmenden Funktionen \(y\) den \(r\) \((<n)\) Differentialgleichungen erster Ordnung \[ f_{\varrho} (x,y_1,\dots ,y_n;y_1',\dots ,y_n')=0\quad (\varrho =1,2,\dots ,r) \] genügen, und setzt man (mit \textit{Mayer}) \[ \varOmega =f+\sum_{\varrho =1}^r\lambda_{\varrho}f_{\varrho},\quad \varOmega_i=\frac {\partial \varOmega}{\partial y_i},\quad\varOmega_{n+i}=\frac {\partial \varOmega}{\partial y_i'}\quad (i=1,2,\dots ,n), \] so müssen die Funktionen \(y_i\) und \(\lambda_{\varrho}\) den \(n\) \textit{Euler}schen Gleichungen und \(r\) Bedingungsgleichungen \[ \varOmega_i-\frac d{dx}\varOmega_{n+i}=0\quad (i=1,2,\dots ,n), \] \[ f_{\varrho}=0\quad (\varrho =1,2,\dots ,r) \] genügen. Stellt man \(y_i'\) aus den Gleichungen \[ \varOmega_{n+i}(x,y_1,\dots ;y_1,\dots ;\lambda_1,\dots )=v_i \] und den Bedingungsgleichungen \(f_{\varrho}=0\) als Funktionen von \(x,y,v\) dar: \[ y_i'=\varPsi_i(x,y_1,\dots ,y_n; v_1,\dots ,v_n), \] so läßt sich das obige Gleichungssystem auf das folgende kanonische System von \(2n\) Differentialgleichungen \[ \frac {dy_i}{dx}=\frac {\partial H}{\partial v_i},\quad\frac {dv_i}{dx}=-\frac {\partial H}{\partial y_i} \] zurückführen, wo \[ H=\sum_{i=1}^nv_i\varPsi_i-f(x,y_1,\dots ;\varPsi_1,\dots ) \] ist. Die einzige Lösung dieses kanonischen Systems, die gewissen Bedingungen genügt, bestimmt die \(n+r\) Funktionen \(y_i,\lambda_{\varrho}\), die die \textit{Euler}schen Gleichungen befriedigen. In den beiden folgenden Paragraphen wird dann der \textit{Weierstraß}sche Fundamentalsatz für den speziellen Fall einer Schar von Extremalen, die durch einen festen Punkt gehen, unter Benutzung der aus der Theorie des einfachsten Problems bekannten \textit{Weierstraß}schen Funktion bewiesen. Dann wird der \textit{Weierstraß}sche Satz auf eine gewisse allgemeinere Klasse von Extremalenscharen mit \(n\) Parametern (\textit{Mayer}sche Extremalenscharen) ausgedehnt und zu diesem Zwecke von einer Methode Gebrauch gemacht, die ganz analog der sogenannten Transversalentheorie ist, mit der \textit{Kneser} in dem einfachsten Falle \(n=1\), \(r=0\) das gleiche Ergebnis erzielt hat. Auf diese Weise erhält der Verf. den \textit{Weierstraß}schen Satz in der folgenden Form: Es sei \(y_i=Y_i(x;a_1,\dots ,a_n)\), \(\lambda_{\varrho}=\varLambda_{\varrho}(x;a_1,\dots ,a_n)\) eine \textit{Mayer}sche Schar von Lösungen (mit \(n\) Parametern) der \textit{Euler}schen Differentialgleichungen, die ein Feld \(S_k\) von Extremalen um die besondere Extremale \({\mathfrak F}_0\) liefern. Es seien ferner \[ a_i={\mathfrak a}_i(x,y_1,\dots ,y_n) \] die inversen Funktionen des Feldes und \[ p_i(x,y_1,\dots ,y_n)=Y_i'(x;{\mathfrak a}_1,\dots ,{\mathfrak a}_n), \] \[ \mu_{\varrho}(x,y_1,\dots ,y_n)=\varLambda_{\varrho}(x;{\mathfrak a}_1,\dots ,{\mathfrak a}_n). \] Ist dann \({\mathfrak T}_0\) die transversale Fläche des Feldes, die durch den Anfangspunkt \(P_0\) der Extremalen \({\mathfrak F}_0\) geht, \(P_2\) ein beliebiger Punkt von \({\mathfrak T}_0\) und \[ \tilde{\mathfrak C}:y_i=\tilde y_i(x)\quad (x_2\leq x\leq x_1), \] eine beliebige Kurve, die in dem Intervall \((x_2\dots x_1)\) stetig ist und eine stetige erste Ableitung besitzt, durch den Punkt \(P_2\) und den Endpunkt \(P_1\) von \({\mathfrak F}_0\) geht, ganz in dem Felde \(S_k\) liegt und der partiellen Differentialgleichung \[ f_{\varrho}[x,\tilde y_1(x),\dots ;\tilde y_y'(x),\dots ]=0 \] genügt, so kann \[ \varDelta I=I_{\tilde{\mathfrak C}}(P_2P_1)-I_{{\mathfrak F}_0}(P_0P_1) \] durch das bestimmte Integral \[ \varDelta I=\int_{x_0}^{x_1} E\{ x,\tilde y_1(x),\dots ; p_1[x,\tilde y_1(x),\dots ],\dots ;\tilde y_1' (x),\dots ; \mu_1[x,\tilde y(x),\dots ],\dots\} dx \] dargestellt werden, wo die \(E\)-Funktion durch die folgende Gleichung definiert ist: \[ \begin{multlined} E(x,y_1,\dots ;p_1,\dots ;\tilde y_1',\dots ;\mu_1,\dots )=f(x,y_1,\dots ;\tilde y_1,\dots ) \\ -f(x,y_1,\dots ;p_1,\dots )-\sum_i(y_i'-p_i)\varOmega_{n+i}(x,y_1,\dots :p_1,\dots ;\mu_1,\dots ). \end{multlined} \] Aus den gleichen Fundamentalformeln, die diesen \textit{Weierstraß}schen Satz ergaben, folgt auch unmittelbar die von \textit{Mayer} (Leipz. Ber. 1905) gegebene Ausdehnung des \textit{Beltrami-Hilbert}schen Unabhängigkeitssatzes: Der Ausdruck: \[ T\equiv f(x,y_1,\dots ;p_1,\dots )+\sum_i\left( \frac {dy_i}{dx}-p_i\right)\varOmega_{n+i}(x,y_1,\dots ;p_1,\dots;\mu_1,\dots ) \] ist ein vollständiges Differential nach \(x\) für beliebige Funktionen \(y_1,\dots ,y_n\) von \(x\), und gleichzeitig ist \(f_{\varrho}(x,y_1,\dots ;p_1,\dots )=0\) identisch in \(x,y_1,\dots ,y_n\).