A theorem on single-valued mapping and its application in the calculus of variations. (Q1497180)

Um den fraglichen Satz bequemer formulieren zu können, sagt der Verf., ein Punkt \((x)=(x_1,x_2,\dots ,x_n)\) liege in der Umgebung (\(\varrho\)) einer im Raume der Variabeln \(x\) definierten Punktmenge \(\mathfrak M\), wenn es mindestens einen Punkt (\(\overline x\)) von \(\mathfrak M\) gibt, so daß \[ |x_i-\overline x_i|<\varrho \quad (i=1,2,\dots ,n) \] ist, und bezeichnet die hierdurch definierte Umgebung (\(\varrho\)) der Menge \(\mathfrak M\) mit \((\varrho )_{\mathfrak M}\). Sodann beweist er den folgenden Satz: Die \(n\) reellen eindeutigen Funktionen \[ (1)\quad y_i=f_i(x_1,x_2,\dots ,x_n)\quad (i=1,2,\dots ,n) \] nebst ihren ersten partiellen Ableitungen seien stetig im Innern eines Bereiches \(\mathfrak U\); ferner möge die durch die Gleichungen (1) definierte Beziehung zwischen dem (\(x\))-Raume und dem (\(y\))-Raume ein-eindeutig sein für eine im Innern von \(\mathfrak U\) gelegene, beschränkte, abgeschlossene Punktmenge \({\mathfrak C}\), und endlich sei die Funktionaldeterminante \[ \varDelta (x_1,x_2,\dots ,x_n)=\frac {\partial (f_1,f_2,\dots ,f_n)}{\partial (x_1,x_2,\dots ,x_n)} \] in \({\mathfrak C}\) von Null verschieden. Alsdann läßt sich eine ganz im Innern von \(\mathfrak U\) gelegene Umgebung \((\varrho )_{\mathfrak C}\) von \({\mathfrak C}\) angeben, derart, daß die Gleichungen (1) eine ein-eindeutige Beziehung zwischen dem Bereiche \((\varrho )_{\mathfrak C}\) und seinem Bilde \({\mathfrak S}_\varrho\) im \((y)\)-Raume definieren. Die Größe \(\varrho\) kann so klein gewählt werden, daß jeder Punkt des Bildes \({\mathfrak S}_{\varrho}\) von \((\varrho )_{\mathfrak C}\) ein innerer Punkt ist, und daß die durch Auflösung der Gleichung (1) erhaltenen und in \({\mathfrak S}_{\varrho}\) eindeutig definierten inversen Funktionen: \[ x_{\chi}=\psi_{\chi}(y_1,y_2,\dots ,y_n)\quad ( \varkappa =1,2,\dots ,n) \] im Bereiche \({\mathfrak S}_{\varrho}\) stetig sind und stetige partielle Ableitungen erster Ordnung besitzen. Beachtet man ferner, daß sich im \((y)\)-Raume eine Umgebung \((\sigma )_{\mathfrak F}\) des Bildes \({\mathfrak F}\) der Menge \({\mathfrak C}\) angeben läßt, welche ganz in \({\mathfrak S}_{\varrho}\) liegt, so kann man den obigen Satz auch so aussprechen: Es lassen sich unter den angegebenen Voraussetzungen zwei positive Größen \(\varrho\) und \(\sigma\) derart angeben, daß für jedes (\(y\)) in \((\sigma )_{\mathfrak F}\) die Gleichungen (1) eine und nur eine Lösung \((x)\) in \((\varrho )_{\mathfrak C}\) besitzen. In dieser letzteren Fassung läßt sich der Satz auf implizite Funktionen verallgemeinern und einfach beweisen. Um die Brauchbarkeit des Satzes und seiner Verallgemeinerung auf implizite Funktionen zu zeigen, führt der Verf. zwei der Variationsrechnung entlehnte Beispiele an, nämlich den Satz von der Existenz eines Feldes und die Reduktion der Differentialgleichungen für das sogenannte allgemeinste Problem des Extremums eines einfachen Integrals auf ein kanonisches System.