Une méthode géométrique élémentaire pour l'étude de certaines questions de la théorie des courbes planes. (Q1497202)

Die Arbeit bringt ein neues Beispiel einer stetigen Kurve, die in keinem Punkte eine Tangente besitzt. Durch die elementargeometrische Entstehungsweise der Kurve soll sich auch dem, der ähnlichen Fragen naiv gegenübersteht, die behauptete Tatsache mit zwingender Gewalt aufdrängen. Bei einer geradlinigen Strecke \(AB\) wird das mittlere Drittel durch die zweite und dritte Seite des über ihm errichteten gleichseitigen Dreiecks ersetzt. Ebenso werden die vier Strecken des neuen Linienzuges behandelt usw. Die nacheinander entstehenden, \(A\) und \(B\) verbindenden gebrochenen Linien besitzen eine Grenzlinie \(P\), deren Punkte umkehrbar eindeutig den Punkten der Sehne \(AB\) zugeordnet werden können. Die Funktion, die den Zusammenhang vermittelt, ist stetig. Dasselbe gilt vin der Kurve \(P\); trotzdem besitzt sie in keinem Punkte eine bestimmte Tangente. Das von \(P\) und der Sehne \(AB\) begrenzte Flächenstück hat einen endlichen, leicht angebbaren Wert. Dagegen ist der Rogen \(AB\) der Kurve \(P\) unendlich, desgleichen jeder seiner Teile. Die kartesischen Koordinaten von \(P\) sind eindeutige und stetige Funktionen eines Parameters. Durch geringe Abänderung des Verfahrens wird eine Kurve \(P'\) erhalten, die ähnliche Eigenschaften besitzt wie \(P\), und von der sogar behauptet werden kann, daß ihre Ordinate eine stetige und eindeutige Funktion der Abszisse ist. Die Methode wird verallgemeinert, indem an Stelle der Teilung aller Strecken in drei gleiche Teile allgemeinere Dreiteilungen treten. So kann man auch rektifizierbare Kurven \(P\) erhalten, bei denen es aber zweifelhaft ist, ob sie in allen Punkten ohne bestimmte Tangente sind. Unentschieden bleibt auch, ob es rektifizierbare Kurven ohne Tangenten überhaupt gilt.