Über den \textit{Cauchy-Goursat}schen Satz. (Q1497221)

Der Verf. liefert einen neuen Beweis des \textit{ {Cauchy}-Goursat}schen Satzes, indem er von folgenden Voraussetzungen ausgeht: \(\varphi_0(\xi ),\varphi_1(\xi )\) seien im Intervall (\(\alpha_0,\alpha_1\)) stetig und von beschränkter Schwankung, und es sei stets \(\varphi_0(\xi )\leq\varphi_1(\xi )\); dann werde in der komplexen Zahlebene \(z=\xi +i\eta\) ein Bereich \({\mathfrak B}_0\) deiniert durch \(z=\xi +i\{ (1-\tau )\varphi_0(\xi )+\tau\varphi_1( \xi )\}\), wo \(\alpha_0\leq\xi\leq\alpha_1\), \(0\leq\tau\leq 1\) ist. Dieser Bereich \({\mathfrak B}_0\) wird also nach links und rechts begrenzt durch die Geraden \(\xi =\alpha_0\), \(\xi =\alpha_1\) und nach oben und unten durch die Kurven \(\eta =\varphi_0(\xi ),\;\eta =\varphi_1(\xi )\). Jedem Punte \(z\) von \({\mathfrak B}_0\) wird ein Wert \(f(z)\) zugeordnet, wo \(f(z)\) in \({\mathfrak B}_0\) überall eine Ableitung besitzt. Alsdann läßt sich zeigen, daß zu jedem positiven \(\varepsilon\) ein positives \(\delta\) so bestimmt werden kann, daß für alle Punkte von \({\mathfrak B}_0\), die der Bedingung \(|z-c|<\delta\) entsprechen \(|f(z)-f(c)-(z-c)f'(c)|\leq\varepsilon |z-c|;\; c\) ist dabei ein gegebener Punkt von \({\mathfrak B}_0\). Sind diese Voraussetzungen erfüllt, so läßt sich zeigen, wie der Verf. nachweist, daß das über den Rand von \({\mathfrak B}_0\) erstreckte Integral \(I_0=\int_{{\mathfrak B}_0}f(z)\,dz=0\) ist.