On function sum theorems connected with the series \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac {x^n}{n^2}\). (Q1497236)

Es wird gezeigt, daß z. B. eine Funktion von der Beschaffenheit existiert, daß für irgendwelche reellen Werte von \(x\) und \(y\), die zwischen 0 und 1 liegen, \[ f(x)+f(y)-f(xy)=f\left(\frac {x(1-y)}{1-xy}\right) +f\left(\frac {y(1-x)}{1-xy}\right) \] ist. Es wird ferner die Differentialgleichung abgeleitet, der diese Funktion genügen muß, und durch Integration dieser Gleichung die Form der Funktion bestimmt usw.