Some theorems connected with \textit{Abel}'s theorem on the continuity of power series. (Q1497237)

Vorliegende Arbeit knüpft an den \textit{Abel}schen Satz an: Wenn die Reihe \(\sum a_n\) konvergiert, so ist die Reihe \(\sum a_nx^n\) konvergent für alle \(|x|<1\) und stellt eine Funktion \(f(x)\) dar, die für alle diese Werte \(x\), einschließlich 1, stetig ist. Nach einer kurzen historisch-kritischen Übersicht über die wichtigsten Arbeiten, die sich an den \textit{Abel}schen Satz angeschlossen haben, wobei insbesondere \textit{Dirichlet, Stolz, Pringsheim, Dedekind, Kronecker, Cesàro, Borel} und \textit{Frobenius} erwähnt werden, leitet Verf. eine große Reihe von Sätzen ab, die Erweiterungen des \textit{Abel}schen Satzes darstellen. Es mag hier nur der Hauptsatz Platz finden: Wenn die Funktionen \(f_n\) endlich (beschränkt), reell und positiv sind, wenn ferner ihre ersten und zweiten Differenzen \(f_n-f_{n+1}\), \(f_n-2f_{n+1}+f_{n+2}\) für \(0\leq x\leq 1\) und für alle Werte von \(n\) positiv sind, und wenn die Reihe \(\sum a_n\) summierbar ist, dann ist die Reihe \(\sum a_nf_n\) im ganzen Intervall (0,1) gleichmäßig summierbar. Die abgeleiteten Sätze werden zum Teil an Beispielen erläutert, insbesondere an solchen, die den \(q\)-Reihen aus der Theorie der elliptischen Funktionen entnommen sind. Erwähnt sei noch, daß Verf. eine Stelle aus \textit{Kroneckers} Vorlesungen über Integrale (S. 88-89) kritisch untersucht und richtigstellt.