Intorno al teorema \textit{d'Abel} sulle superficie algebriche ed alla riduzione a forma normale degl'integrali di \textit{Picard}. (Q1497260)

Der Verf. faßt den Inhalt dieser Arbeit im Vorworte folgendermaßen zusammen. Auf einer algebraischen Kurve gibt das gewöhnliche \textit{Abel}sche Theorem die Äquivalenzbedingungen zweier Gruppen von einer gleichen Zahl von Punkten, d. h. eines und desselben stetigen Systems, vermöge der einfachen Gegenüberstellung der Summen der \textit{Abel}schen Integrale in den Punkten dieser beiden Gruppen; aus dieser Überlegung entspringt die Frage der höheren Bestimmung des \textit{Abel}schen Theorems auf den algebraischen Oberflächen durch Angabe der Äquivalenzbedingungen zweier Kurven \(D_1,D_2\) eines und desselben stetigen Systems ohne irgendwelche Kenntnis der anderen Kurven des Systems. Der Hauptsatz der gegenwärtigen Arbeit (Theorem IV) beantwortet diese Frage zum Teil; er sagt aus, daß, wenn in den Punkten der Gruppen, in denen die Kurven \(D_1,D_2\) eine festgehaltene Kurve \(C\) aus einem stetigen System (vom Grade \(>0\)) schneiden, die einfachen zur Oberfläche \(F\) gehörigen Integrale erster Gattung gleiche Summen geben, zwei passende Gleichvielfache der \(D_1,D_2\) \((\lambda D_1,\lambda D_2)\) zu einem und demselben linearen System gehören. Insbesondere ist die Form bemerkenswert, welche der Satz annimmt, wenn \(C\) zu dem stetigen Systeme gehört, dem die \(D_1,D_2\) angehören. Hierzu fügt der Verf. noch die folgenden Betrachtungen. Man kann auch die Voraussetzung aufgeben, daß die beiden Kurven \(D_1,D_2\) zu einem und demselben stetigen System gehören, und sie durch die arithmetische Annahme ersetzen, daß sie dieselbe Ordnung, denselben virtuellen Grad haben, und daß sie sich in einer ihrem Grade gleichen Anzahl von Punkten schneiden. Dann gelangt man zu dem folgenden Resultate: Theorem VI. Wenn auf einer Oberfläche \(F\) zwei solche Kurven \(D_1,D_2\) von derselben Ordnung gezogen werden, daß ihre Grade beide der Anzahl ihrer Durchschnitte gleich sind, und daß die Integrale erster Gattung von \(F\) dieselben Summen in den Gruppen ergeben, wo die \(D_1,D_2\) eine festgehaltene Kurve \(C\) innerhalb eines stetigen Systems vom Grade \(>0\) (im besonderen ein ebener Schnitt) schneiden, so gehören zwei hinreichend hohe Gleichvielfache der beiden Kurven zu einem und demselben linearen System. Will man dieses Theorem dem gewöhnlichen \textit{Abel}schen gegenüberstellen, so kann man sagen, die Betrachtung der beiden Kurven \(D_1,D_2\), die solchen arithmetischen Bedingungen genügen, sei der Betrachtung der beiden Gruppen einer gleichen Anzahl von Punkten analog, auf welche sich das \textit{Abel}sche Theorem bezieht.