Über bestimmte Integrale mit der \textit{Prym}schen \(Q\)-Funktion. (Q1497288)

Für die in der Theorie der Gammafunktion auftretende, in \(\nu\) ganze transzendente Funktion \[ Q(x,1-\nu )=\int_x^{\infty} e^{-t}\frac {dt}{t^{\nu}}, \] die den Integrallogarithmus, die \textit{Kramp}sche Transzendente und die \textit{Fresnel}schen Integrale als Spezielfälle umfaßt, werden folgende Sätze aufgestellt: 1. Es ist \[ \int_0^{\infty} Q(tx,1-\nu )t^{\varrho -1}dt=\frac {\varGamma (\varrho -\nu +1)}{\varrho x^{\varrho}}. \] 2. Es sei \[ F(x)=\sum_{s=0}^{\infty}\frac {a_s}{\varGamma (\varrho -\nu +s+1)}x^s \] eine solche ganze transzendente Funktion von \(x\), daß der Konvergenzradius \(r\) der Potenzreihe \[ f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\dotsm \] eine angebbare Größe ist; dann hat man allgemein \[ \int_0^{\infty}Q(ty,1-\nu )F(tx)t^{\varrho -1}dt=x^{-\varrho} \sum_{s=0}^{\infty}\frac {a_s}{\varrho +s}\left(\frac xy\right)^{\varrho +s}, \] falls \(\Re (y)>0\), \(|x|<r|y|\) und \(\Re (\varrho -\nu )>-1\) ist. 3. Bezeichnet \(J\) die Zylinderfunktion, \(P\) die zu \(Q\) komplementare Funktion \[ P(x,\nu )=\varGamma (\nu )-Q(x,\nu ), \] so ist \[ \int_0^{\infty} Q(ty,1-\nu )J_{\varrho -\nu}(2\sqrt{tx})t^{\frac {\nu +\varrho}2-1}dt=x^{-\frac {\nu +\varrho}2}P\left(\frac xy,\varrho \right) . \] Aus den allgemeinen Formeln wird für spezielle Werte von \(\varrho\), resp. \(\nu\) eine große Reihe weiterer Relationen hergeleitet. Schließlich wird noch der Wert des folgenden, Zylinderfunktionen zweiter Art enthaltenden Integrals ermittelt: \[ \begin{multlined} \int_0^{\infty}Q(t,\nu )Y_{\nu}(2i\sqrt {tx})t^{-\frac 12\nu}dt \\ =i^{-\nu}x^{\frac 12\nu -1}e^x\left[ (1-e^{-x})e^{\nu\pi i}\text{cotg} (\nu\pi )-\frac 1{\varGamma (1-\nu )\sin (\nu\pi )}P(x,1-\nu )\right] .\end{multlined} \]