Über die unvollständigen Gammafunktionen. (Q1497290)

Für \(e^zz^{-k}\varGamma (z,k)\), wo \(\varGamma (z,k)\) die unvollständige Gammafunktion \[ \varGamma (z,k)=\int_z^{\infty}t^{k-1}e^{-t}dt \] ist, hat man eine Kettenbruchentwicklung von \textit{Legendre}, deren Gültigkeit sich aus den allgemeinen \textit{Stieltjes}schen Theoremen ergibt. Der \((2n)\)-te Näherungsbruch hat, wie Verf. zeigt, den Zähler \[ \begin{multlined} B_n=\sum_0^{n-1}\beta_{n\nu }z_{\nu},\text{ wobei } \beta_{n\nu}=\frac 1n\frac 1{\nu !}\left\{ 1+\frac {\nu +1}{n-1}\left( \begin{matrix} \lambda +n-1 \\ 1 \end{matrix} \right)\right. \\ \left. +\frac {(\nu +1)(\nu +2)}{(n-1)(n-2)}\left(\begin{matrix} \lambda +n-1 \\ 2 \end{matrix}\right) +\dotsm +\left(\begin{matrix} \lambda +n-1 \\ n-\nu -1 \end{matrix}\right)\right\}, \end{multlined} \] und den Nenner \[ A_n=\sum_0^n\alpha_{n\nu}z^{\nu},\text{ wobei }\alpha_{n\nu}=\frac 1{\nu !}\left(\begin{matrix} \lambda +n-1 \\ n-\nu \end{matrix}\right) . \] Die Formel \[ e^zz^{-k}\varGamma (z,k)=\frac 1{A_1}+\frac {\lambda}{2!\,\,A_1A_2}+\frac {\lambda (\lambda +1)}{3!\,\,A_2A_3}+\frac {\lambda (\lambda +1)(\lambda +2)}{4!\,\,A_3A_4}+\dotsm , \] deren rechte Seite nichts anderes als \[ \frac {B_1}{A_1}+\left(\frac {B_2}{A_2}-\frac {B_1}{A_1}\right)+\left(\frac {B_3}{A_3}-\frac {B_2}{A_2}\right)+\dotsm ,\text{ d. h. }\lim \frac {B_n}{A_n} \] ist, eignet sich für die numerische Berechnung. \(A_n\) und \(B_n\) genügen den Differentialgleichungen \[ z\frac {\partial^2A_n}{\partial z^2}+(z+\lambda )\frac {\partial A_n}{\partial z}-nA_n=0, \] \[ z\frac {\partial^2B_n}{\partial z^2}-(z+\lambda -2)\frac {\partial B_n}{\partial z}-(n+1)B_n+2\frac {\partial A_n}{\partial z}=0. \] Für die \textit{Schlömilch}sche Formel \[ \begin{multlined} e^zz^{-k}\varGamma (z,k)=\frac 1z-\frac {a_1}{z(z+1)}+\frac {a_2}{z(z+1)(z+2)}-\dotsm \\ \left( a_{\nu}=\frac 1{\varGamma (\lambda )}\int_0^{\infty} t^{\lambda}(t-1)(t-2)\dotsm (t-\nu +1)e^{-t}dt\right) , \end{multlined} \] deren Beweis bei \textit{Schlömilch} eine Lücke aufweist, wird vom Verf. eine strenge Ableitung gegeben. Der \textit{Tauber}sche Aufsatz ist vor dem Erscheinen des \textit{Nielsen}schen Buches über die Gammafunktion geschrieben.