Sur une propriété de la série hypergéométrique. (Q1497296)

Sind \(F(\alpha ,\beta ,\gamma ,x)\) und \(F(\alpha ',\beta ',\gamma ',x)\) zwei hypergeometrische Reihen, deren Parameter die Gleichungen \[ (1)\quad \alpha +\alpha '=\beta +\beta '=\gamma +\gamma ' \] erfüllen, so besteht die Identität \[ \begin{multlined} (2)\quad \int_0^1z^{\gamma -1}(1-z)^{\gamma'-1}F(\alpha ,\beta ,\gamma ,xz)F(\alpha',\beta',\gamma',y(1-z))dz \\ =\frac{(\gamma -1)!\,\, (\gamma' -1)!}{(\gamma +\gamma'-1)!}(1-y)^{\alpha-\beta'}F(\alpha ,\beta ,\gamma +\gamma',x+y-xy) . \end{multlined} \] Dabei bedarf der Fall, wo \(\gamma\) und \(\gamma '\) nicht beide einen positiven reellen Teil haben, besonderer Erörterung. Aus (2) leitet der Verf. weiter ab, daß sich das Integral \[ \int_0^1z^{\gamma +f-1}(1-z)^{\gamma '+f'-1}F(\alpha ,\beta ,\gamma ,yz)\,F(\alpha ',\beta ',\gamma ',y(1-z))\,dz \] linear durch \(F(\alpha -e,\beta ,\gamma +\gamma '+f+f',x+y-xy)\) und die Ableitungen hiervon bis zu einer gewissen Ordnung ausdrücken läßt, so oft die Parameter der Doppelbedingung \[ \alpha +a'=\gamma +\gamma '+f+f'+e,\quad \beta +\beta '=\gamma +\gamma '+f+f'+e' \] genügen; \(e,e',f,f'\) sind ganze Zahlen und \(e,f\) positiv. Er zeigt schließlich noch, daß sich die von ihm befolgte Beweismethode auch in andern Fällen anwenden läßt. So untersucht er z. B., in welchen Fällen sich das als konvergent vorausgesetzte Integral \[ \int_0^1z^{\lambda}(1-z)^{\mu}F(\alpha ,\beta ,\gamma ,xz^p(1-z)^q)\,dz \] unter der Form \(C\,F(a,b,c,m,x)\) ausdrückt.