On harmonic functions in two dimensions. (Q1497351)

Der Aufsatz versucht, die Theorie der harmonischen Funktionen in einem zweidimensionalen Bereiche zu begründen, ohne die Existenz der zweiten Ableitungen vorauszusetzen. Zu dem Zwecke wird die übliche Definition jener Funktionen, die die Erfüllung der \textit{Laplace}schen Gleichung fordert, durch folgende ersetzt. Die Funktion \(u(x,y)\) ist in dem Gebiet \(T\) der \(xy\)-Ebene harmonisch, wenn sie dort einwertig und kontinuierlich ist, kontinuierliche erste Ableitungen besitzt und außerdem für einen ganz in \(T\) liegenden Kreis der Bedingung genügt: \[ \int\frac {\partial u}{\partial n}ds=0, \] wo \(n\) die äußere Normale bezeichnet und die Integration über den Kreisumfang zu erstrecken ist. Aus dieser Definition wird eine Reihe von Sätzen abgeleitet, z. B.: Wenn \(u\) innerhalb und auf dem Umfang des Kreises \(C\) kontinunierlich und zugleich innerhalb \(C\) harmonisch ist, so ist der Wert von \(u\) im Kreismittelpunkte gleich dem mittleren Werte von \(u\) auf dem Kreisumfang. Unter denselben Voraussetzungen ist der Wert von \(u\) in einem Punkte \(P\) innerhalb \(C\) \[ \frac 1{2\pi}\int_0^{2\pi}u_{\vartheta}d\vartheta , \] wo \(\vartheta\) den Winkel zwischen einem festen und einem variablen Kreisbogen bezeichnet, die beide von \(P\) ausgehen und \(C\) senkrecht schneiden. Aus den angeführten und andern Sätzen ergibt sich schließlich das Resultat, daß, wenn \(u\) in einem Gebiete \(T\) harmonisch ist, \(u\) auch in jedem Punkte von \(T\) eine analytische Funktion ist und der \textit{Laplace}schen Gleichung genügt. Damit ist die Identität der hier definierten Funktionen mit den sonst als harmonisch bezeichneten bewiesen.