Über die \textit{Euler}schen Polyederrelationen. (Q1497401)

Es wird nachgewiesen, daß die \textit{Euler}schen Beziehungen \[ e+f=k+2,\quad e\leq\frac 23k, \quad f\leq\frac 23 k \] nicht nur notwendige, sondern auch \textit{hinreichende} Bedingungen dafür sind, daß konvexe Polyeder mit \(e\) Ecken, \(f\) Flächen und \(k\) Kanten existieren. Gelten für drei ganze Zahlen die obigen Relationen, so bestehen die Gleichungen \[ e=(4+r)+2\alpha+\beta ,\quad f=(4+r)+\alpha+2\beta ,\quad k=(6+2r)+3\alpha+3\beta , \] in denen \(r\) eine der Zahlen 0,1,2, bezeichnet und \(\alpha\) und \(\beta\) ganze Zahlen \(\geq 0\) sind. Für \(\alpha =\beta =0\) existieren Polyeder mit diesen Anzahlen, nämlich die dreiseitige, vierseitige und fünfseitige Pyramide. Durch mehrmalige Anwendung gewisser Prozesse lassen sich aus diesen konvexe Polyeder herstellen, die in der Tat \(e\) Ecken, \(f\) Flächen und \(k\) Kanten besitzen.