On the general theory of transfinite numbers and order types. (Q1498217)

Eine lange Erörterung über den von anderer Seite schon früher bemerkten Widerspruch, daß\ nämlich der Reihe aller transfiniten Ordnungszahlen, ob sie auch eine wohlgeordnete Reihe ist, keine Ordnungszahl zukommen darf. \textit{Burali-Forti} (Una questione sui numeri transfiniti. Palermo Rend. \textit{11}, 154-164; F. d. M. \textit{28}, 62, 1897, JFM 28.0062.02) hat gezeigt, daß\ der Widerspruch sich dadurch heben läßt, daß\ man auf den Satz verzichtet, nach welchem zwischen zwei beliebigen Ordnungszahlen \(\alpha, \beta\) eine der drei Beziehungen \(\alpha \gtreqqless \beta\) notwendig bestehen muß. \textit{Jourdain} (On the transfinite cardinal numbers of well-ordered aggregates, Phil. Mag. (6) \textit{7}, 61-75; F. d. M. \textit{35}, 89, 1904, JFM 35.0089.05) gibt die Existenz wohlgeordneter Mengen zu, welchen keine Ordnungszahl besitze, und nennt dieselben inkonsistente Mengen. \textit{Hobson} findet den Grund des Widerspruches darin, daß\ eine unendliche Menge nur dann als definiert angesehen werden darf, wenn eine Norm existiert, durch welche man logisch entscheiden kann, ob ein Ding der Menge angehört oder nicht. Es scheint aber eine wichtige, die Einwände von \textit{Burali-Forti} betreffende Tatsache \textit{Hobson} entgangen zu sein. Wie \textit{Burali-Forti} (Sulle classi ben ordinate, Palermo Rend. \textit{11}, 260; '' F. d. M. \textit{28}, 62, 1897, siehe JFM 28.0062.02 u. JFM 28.0062.03'' ) selbst erkannte, und Ref. in seinem Berichte betont hat, sind die von ihm als vollkommen geordnet bezeichneten Mengen nicht immer wohlgeordnet, woraus folgt, daß\ seine gemeinten Ordnungszahlen zwar wohl Ordnungstypen, nicht aber Ordnungszahlen zu sein brauchen, und der bezweifelte Satz unberührt bleibt.