A general theorem on algebraic numbers. (Q1498372)

\(r_1, \dots, r_n\) mögen einem Felde \(F\) angehören, und \[ (1) \qquad \varrho^n= \sum_{i=1}^n r_i \varrho^{n-i} \] möge in \(F\) irreduzibel sein. Eine Multiplikationstafel \[ (2) \qquad \varrho^{n-1} \varrho^{n-k}= \sum_{s=1}^n \gamma_{iks} \varrho^{n-s}, \] wo \(i, k=1,2, \dots, n\), setzt uns in den Stand, das Produkt aus \(x\) und \(y\), wo \[ (3) \qquad x=\sum_{i=1}^n x_i \varrho^{n-1}, \quad y=\sum_{k=1}^n y_k \varrho^{n-k} \] (\(x_i, y_k\) in \(F\)) in der Form auszudrücken: \[ (4) \qquad z=\sum_{s=1}^n z_s \varrho^{n-s}, \quad z_s \equiv \sum_{i,k}^{1, \dots, n} \gamma_{iks} x_i y_i \quad (s=1, \dots, n). \] \textit{Theorem}. Jede der \(3n\) Determinanten (Schnitte der kubischen Anordnungen \(\gamma_{iks}\) durch Ebenen parallel zu den Seiten): \[ (5) \qquad C_i \equiv |\gamma_{iks}|, \quad C_k' \equiv |\gamma_{iks}|, \quad C_s'' \equiv |\gamma_{iks}| \] ist von Null verschieden. Wir haben die Auswertungen: \[ (6) \qquad C_i=(-1)^{i(n-i)} r_n^{n-i}, \quad C_k'=(-1)^{k(n-k)} r_n^{n-k}, \] \[ C_1''=\theta_n, \quad C_n''=\theta_{n-1} r_n^{n-1}, \] wo \(\theta_m=+1\) ist, wenn \(m\) von der Form \(4l\) oder \(4l+1\), aber \(\theta_m=-1\), wenn \(m\) von der Form \(4l+2\) oder \(4l+3\); außerdem ist für \(1<s<n\), abgesehen vom Vorzeichen, \(C_s''\) die Resultante der Gleichungen \[ (7) \qquad \varrho^{s-1}= \sum_{i=1}^{s-1} r_i \varrho^{s-1-i}, \quad 0=\sum_{i=s}^n r_i \varrho^{n-i}, \] die man durch Zerfällen der Gleichung (1) in zwei Teile erhält.