The axioms of projective geometry. (Q1498414)

In der vorliegenden Schrift werden lediglich die Axiome der projektiven Geometrie behandelt, d. h. es werden die Begriffe der Entfernung und der Kongruenz nicht eingeführt, und die damit in Zusammenhang stehenden Axiome bleiben vorläufig außer Betracht. Als Stetigkeitsaxiom wird infolgedessen sogleich das \textit{Dedekind}sche Axiom eingeführt, da das \textit{Archimedi}sche ja den Begriff der Entfernung benutzt. Jene metrischen Axiome sollen in einer zweiten Schrift behandelt werden, welche den Titel führen wird: The axioms of descriptive geometry. Dabei ist die Bezeichnung ``deskriptive Geometrie'' in einem andern als dem üblichen Sinne angewendet: es ist damit hier eine Geometrie gemeint, in welcher sich nicht alle Paare von Geraden derselben Ebene schneiden. Dieser ungewöhliche Gebrauch jener Bezeichnung scheint mir nicht glücklich zu sein. Verf. stützt sich auf die neueren Untersuchungen von \textit{Fano}, \textit{Hilbert}, \textit{Pieri}, \textit{F. Schur}, \textit{Vahlen} u. a. Er stellt 19 Axiome auf, nämlich 15 Axiome der Klassifikation, 3 Axiome der Anordnung und das \textit{Dedekind}sche Axiom. Die Axiome 1 bis 13 geben im wesentlichen den Inhalt der von \textit{D. Hilbert} ``Axiome der Verknüpfung'' genannten Axiome. Aber sie erhalten schon dadurch ein anderes Gepräge, daß hier die Geometrie als ein Zweig der allgemeinen ``Wissenschaft der Klassifikation'' betrachtet wird. Das Objekt der Klassifikation sind hier die Punkte, und die Klassen, in welche sie geordnet werden, sind die Geraden und die Ebenen. Die Axiome 1 bis 15 haben den Zweck, das Verhältnis mehrerer solcher Punktklassen zu einander und zu einzelnen Individuen klarzulegen. Das vierzehnte Axiom ist das von \textit{Fano} aufgestellte: Sind \(A,C\) und \(B,D\) zwei Paare konjugierter harmonischer Punkte, und sind \(A\) und \(C\) verschieden, so müssen auch \(B\) und \(D\) verschieden sein. Dieses Axiom braucht bei Geometrien mit einer endlichen Anzahl von Punkten nicht erfüllt zu sein. Das Axiom 15 beschränkt die Geometrie auf eine solche von drei Dimensionen. Für die Axiome der Anordnung benutzt Verf. mit \textit{Pieri} den Begriff des Segments einer Geraden. Um eine projektive Skala auf einer Geraden und projektive Koordinaten zu gewinnen, wird zunächst die Punktinvolution auf der Geraden betrachtet, und hier ist bemerkenswert, daß Verf. bei den grundlegenden Sätzen untersucht, ob zu ihrem Beweise der Fundamentalsatz der projektiven Geometrie notwendig ist oder nicht. Im übrigen wird in diesen Kapiteln von den Untersuchungen \textit{F. Schurs} (Math. Ann. 55, 265; F. d. M. 32, 531, 1901, JFM 32.0531.03) Gebrauch gemacht. Das Schlußkapitel behandelt die Unbeweisbarkeit des Fundamentalsatzes der projektiven Geometrie nach \textit{Hilbert} und \textit{Vahlen}. Die Darstellung in der vorliegenden Schrift ist knapp und klar, und das Wesentliche der abstrakten Untersuchungen ist so herausgehoben, daß die feinen Fäden dieses logischen Gewebes zutage treten. Einige Einzelheiten mögen schließlich noch Platz finden. \textit{G. Hessenbergs} Ergebnisse (Math. Ann. 61, 161, 1905; F. d. M. 36, 583ff., 1905, JFM 36.0058.02) sind noch nicht benutzt worden, so daß S. 19 noch von der Abhängigkeit des Fundamentalsatzes vom \textit{Desargeus}schen und \textit{Pascal}schen Satze die Rede ist. In der Anmerkung auf S. 41 Z. 4 v. u. bemerkt Verf.: ``\textit{Hilbert}'s exposition (nämlich einer Streckenrechnung) is applied to Projective Geometry by \textit{Schur}, Math. Annal. 55, 1902'', während die letztere Arbeit trotz ihrer späteren Veröffentlichung von derjenigen \textit{D. Hilberts} gänzlich unabhängig ist. -- In Kap. 8 fehlt, -- worauf ich von befreundeter Seite aufmerksam gemacht wurde, -- der Nachweis, daß die in Nr. 44 beschriebenen Zahlen ohne die kommutative Multiplikation wirklich existieren. Die Quaternionen sind zu diesem Nachweise nicht geeignet, weil für sie die Anordnungssätze nicht alle gelten, z. B. nicht der Satz, daß aus \(ac>bc\) und \(c>0\) auch \(a>b\) folgt. In der Tat können ja die Quaternionen dem \textit{Archimedi}schen Postulat genügen, ohne daß die kommutative Multiplikation gilt. (Vgl. hierzu auch \textit{Poincarés} Besprechung der \textit{Hilbert}schen Schrift in Bull. des sciences mathém. (2) 26, 265, 1902).