Ein Beitrag zur Tetraederlehre. (Q1498457)

1. Man fälle von einem beliebigen Punkt \(P\) des Raumes auf die Ebenen eines gegebenen Tetraeders \(ABCD\) die Lote und sehe die vier Fußpunkte \(A_1,B_1,C_1,D_1\) als Ecken eines neuen Tetraeders an; dann gehen die aus den Ecken \(A,B,C,D\) auf die ``zugeordneten'' Flächen von \(A_1B_1C_1D_1\) gefällten Senkrechten durch einen und denselben Punkt \(P_1\). Der Beweis benutzt nur die vertikale Stellung der sechs Kantenpaare (unabhängig von der durch die Wahl des Punktes \(P\) bedingten gegenseitigen Lage der Tetraeder); daher allgemeiner: 2. ``Hat man im Raume zwei in obigem Sinne kantenvertikale Tetraeder, so schneiden sich sowohl die aus den vier Ecken des einen auf die zugeordneten Flächen des anderen gefällten vier Lote, als auch die aus den sechs Kanten des einen auf die zugeordneten Kanten des anderen senkrecht gelegten sechs Ebenen in einem und demselben Punkte. 3. Zwischen den Punkten \(P\) und \(P_1\) besteht eine involutorische Verwandtschaft dritten Grades, und hieraus: 3a. Im besonderen entspricht der unendlich fernen Ebene eine dadurch ausgezeichnete kubische Fläche, daß die Fußpunkte der vier aus einem ihrer Punkte auf die Flächen des Tetraeders gefällten Lote in einer Ebene liegen.'' (Vgl. \textit{Eckardt}, Progr. 1869 u. Math. Ann. 5, 30-50, 1871.)