Aus den Übungen zur Integralrechnung im Wintersemester 1905/1906. (Q1498463)

Die Übungssätze beziehen sich auf den Satz von \textit{Vogt-Bauer} (F. d. M. 11, 434, 1879, JFM 11.0434.02 und 12, 506, 1880, JFM 12.0506.02): Je drei Gerade einer Regelschar auf einem einschaligen Hyperboloide und die drei zu ihnen parallelen der anderen Schar bestimmen ein Parallelepipedon von konstantem Volumen. Wir setzen noch die folgenden ebenfalls abgeleiteten Sätze her: Der geometrische Ort der nicht auf dem einschaligen Hyperboloide liegenden Ecken aller dieser Fläche eingeschriebenen Parallelepipede ist ein zweischaliges Hyperboloid, dessen Hauptachsen mit denen des einschaligen Hyperboloids zusammenfallen und sich zu ihnen wie \(\sqrt 3:1\) verhalten. Enthält ein einschaliges Hyperboloid \textit{ein} rechtwinkliges Parallelepiped, so enthält es unendlich viele, und das Hyperboloid ist ein gleichseitiges. Alle diese rechtwinkligen Parallelepipede haben sechs Ecken auf dem Schnitte des gleichseitigen Hyperboloids mit der Kugel von \textit{Monge}, während die letzten beiden Ecken auf dem Schnitte dieser Kugel mit dem vorerwähnten zweischaligen Hyperboloide liegen. Jedes Umdrehungshyperboloid kann durch Umdrehung eines Rhomboeders um seine Hauptsachse (Diagonale zwischen den Ecken mit drei gleichen Kantenwinkeln) entstehen.