Zur synthetischen Theorie der Raumkurven dritten Grades \(k^3\) und der Kongruenz \(C_3^3\) ihrer Schmiegungsstrahlen. Kubische Raumkurven und biquadratische Regelflächen, die bezüglich \(k^3\) autokonjugiert sind. (Q1498467)

Der durch eine \(k^3\) bestimmte Nullraum weist jeder Ebene einen Nullpunkt zu; von ihm hat zuerst \textit{Cremona} gezeigt, daß die harmonische Polare dieses Punktes in bezug auf das von den drei Bisekanten der Ebene gebildete Schnittpunktdreieck identisch ist mit der in dieser Ebene liegenden Biplanare der Kurve. Für diesen Satz entwickelt Verf. einen einfachen, rein synthetischen Beweis, der sich aus den Grundeigenschaften der \(k^3\) aufbaut und, was sehr wesentlich ist, auch den Fall umfaßt, wo zwei Ecken des Schnittpunktdreiecks imaginär werden. Daran schließt sich ein ebenso natürlicher Beweis eines anderen \textit{Cremona}schen Satzes, wonach eine eigentliche Bisekante nur mit einer uneigentlichen Biplanare inzident sein kann. Die in beiden Beweisen enthaltenen Gedanken ergeben aber weiterhin die Möglichkeit, die aus den Schmiegungsstrahlen der \(k^3\) bestehende Strahlenkongruenz \(C_3^3\) projektiv zu behandeln. Zu jeder Bisekante \(r\) und der ihr durch den Nullraum zugeordneten Biplanare \({\mathfrak r}\) gehört eine aus Bisekanten von \(k^3\) gebildete Regelschar \(R^2\), für welche \(r\) und \({\mathfrak r}\) reziprok polar sind. Auf dieser Regelschar \(R^2\) wird den Kurven \(k^3\) eine andere Kurve \(k_0^3\) zugeordnet durch eine hyperbolische lineare Kongruenz, deren Leitgeraden mit \(r\) und \({\mathfrak r}\) zusammenfallen. \(k^3\) und \(k_0^3\) sind gegenseitig autokonjugiert, und beide sind perspektiv zu einer Regelschar vierter Ordnung, die in der Kongruenz \(C_3^3\) enthalten ist. Aus \(\infty^2\) solcher Regelscharen vierter Ordnung mit dreifachen Punkten und dreifach berührenden Ebenen setzt sich die \(C_3^3\) zusammen.