Die Grundzüge der Fokaltheorie linearer Strahlenkongruenzen. (Q1498473)

In dieser kurzen Mitteilung ist ohne Beweis eine Reihe von Sätzen zusammengestellt, welche für die lineare Kongruenz und den damit gegebenen geschart involutorischen Raum eine Fokaltheorie begründen, und die eine ebenso wichtige Rolle zu spielen scheinen wie die Sätze über die Fokaleigenschaften einer quadratischen Fläche und des damit gegebenen polaren Raumes. Mittelebene einer linearen Kongruenz \(C_1^1\) heißt jede Ebene, welcher durch diese Kongruenz eine zu ihr normale Ebene zugeordnet ist. Alle Mittelebenen einer linearen Kongruenz umhüllen ein gleichseitiges Paraboloid \(C^2\), das Fokalparaboloid. Seine Erzeugenden sind durch \(C_1^1\) paarweise zugeordnet und bilden dadurch die beiden Fokalinvolutionen, deren Doppelstrahlen die vier Fokalachsen von \(C_1^1\) sind. Eine gleichseitige parabolische Regelschar, deren Strahlen derart involutorisch gepaart werden, daß dem unendlich fernen Strahle der ihn rechtwinklig kreuzende zugeordnet wird, ist stets Fokalinvolution einer gewissen linearen Kongruenz. Mit jeder Fokalregelschar von \(C_1\) ist ein \(F^2\)-büschel orthogonaler Regelscharen verbunden. Eng verknüpft sind auch mit dieser Fokaltheorie gewisse rotatorische polare Räume, für welche die durch \(C_1^1\) einander zugeordneten Punkte und Ebenen konjugiert sind. Lineare Strahlenkongruenzen mit demselben Fokalparaboloid heißen konfokal; sie bilden einen quadratischen Strahlenkomplex, sind für \(C^2\) autopolar und haben dasselbe Achsenzylindroid \(C^3\). Aus diesem Zusammenhange zwischen \(C^2\) und \(C^3\) ergeben sich einige neue Eigenschaften des gleichseitigen Paraboloides.