Sur les équations fonctionnelles qui définissent une courbe ou une surface invariante par une transformation. (Q1498507)

Einige Ergebnisse dieser Arbeit hat der Verf. schon früher ohne Beweis mitgeteilt (F. d. M. 36, 737, 1905, JFM 36.0737.01). In Kapitel 1 betrachtet er eine Punkttransformation \(T\): \[ x'=a_1x+b_1y+\dotsm ,\quad y'=a_2x+b_2y+\dotsm , \] wo \(a_1b_2-a_2b_1\not = 0\) ist und die weggelassenen Glieder von zweiter und höherer Ordnung sind, und fragt nach den durch \(x=y=0\) gehenden invarianten analytischen Kurven. Hat die Gleichung \((a_1-S)(b_2-S)-b_1a_2=0\) zwei von einander und von Null verschiedene Wurzeln \(S\) und \(S'\), so kann man die Transformation in der Form: \[ x'=Sx+\dotsm , \quad y'=S'y+\dotsm \] annehmen. Ist dann überdies \(S'-S''\) für keine positive ganze Zahl \(n\) gleich Null, so kann man zunächst eine formell bei der Transformation invariante Gleichung: \(y=c_2x^2+c_3x^3+\dots\) mit bestimmten Koeffizienten konstruieren und kann dann beweisen, daß die konstruierte Potenzreihe unbedingt konvergiert, wenn außerdem noch die Bedingung \(|S|\not =1\) erfüllt ist. Der Verf. untersucht weiter, wie sich ein Punkt \(P\) oder eine Kurve \(C\) in der Umgebung des invarianten Punktes verhält, wenn man die Transformation \(T\) oder \(T^{-1}\) beliebig oft hinter einander ausführt. Wenn \(P\) oder \(C\) dabei schließlich einer Grenzlage zustrebt, so ist diese immer der invariante Punkt \(x=y=0\) oder eine durch diesen gehende invariante Kurve. Das wird benutzt, um die bei der Transformation \(x'=Sx\), \(y'=S'y\) invarianten Kurven zu bestimmen und um auch nichtanalytische invariante Kurven in Betracht zu ziehen. In Kapitel 2 werden die entsprechenden Untersuchungen für drei Veränderliche durchgeführt. Unter gewissen Voraussetzungen ergibt sich, daß durch jeden isoliert liegenden, bei der Transformation invarianten Punkt drei invariante Kurven und drei invariante Flächen hindurchgehen. Man kann dann die Koordinaten \(x,y,z\) immer so wählen, daß die Transformation die Form: \[ x'=x(S+\dotsm ),\quad y'=y(S'+\dotsm ),\quad z'=z(S''+\dotsm ) \] erhält, wo \(S,S',S''\) die Wurzeln einer leicht angebbaren Gleichung dritten Grades sind. In Kapitel 3 wird die Bestimmung der invarianten Flächen auf anderem Wege geleistet. Weiß man nämlich, daß eine vorgelegte Transformation die eben erwähnte Form erhalten kann, so läßt sich direkt beweisen, daß die \textit{Schroeder}sche Gleichung: \[ \psi (x',y',z')=\chi\psi (x,y,z), \] wo \(\chi\) eine Konstante bedeutet, durch eine holomorphe Funktion \(\psi\) befriedigt werden kann, und \(\psi =0\) ist dann offenbar eine bei der Transformation invariante Fläche. Der Verf. stützt sich dabei auf Untersuchungen von \textit{Koenigs, Grévy} und \textit{Leau}. Er weist dann noch hin auf die Analogien dieser Theorien mit den Untersuchungen von \textit{Poincaré} über die Integralkurven einer Differentialgleichung \(\xi dy-\eta dx=0\), wenn \(\xi\) und \(\eta\) für \(x=y=0\) verschwinden. In Kapitel 4 werden Transformationen von der Form: \[ x_1=\varphi (x,y,y'),\quad y_1=\chi (x,y,y') \] betrachtet. Nimmt man an, daß sich für \(x=y=y'=0\) ergibt: \(x_1=y_1=0\), so kann man unter gewissen Voraussetzungen durch die Methode der sukzessiven Annäherung die Existenz einer invarianten Kurve \(y=\psi (x)\) beweisen. Außerdem kann die Transformation immer auf eine der beiden reduzierten Formen: \[ x_1=Sx+y+\dotsm ,\quad y_1=y'+\dotsm , \] \[ x_1=Sx+\dotsm ,\quad y_1=y'+\dotsm \] gebracht werden. In Kapitel 5 werden diese Untersuchungen auf Transformationen von der Form: \[ {\mathfrak r}=f(x,y_1,\dots ,y_n,y_1',\dots ,y_n'), \quad {\mathfrak n}_i=f_i(x_1,y_1,\dots ,y_n,y_1',\dots ,y_n')\quad\,\,\,\, (i=1,\dots ,n) \] ausgedehnt, und in Kapitel 6 werden sie auf die Berührungstransformationen der Ebene angewendet. Die Arbeit sollte namentlich von solchen, die sich mit der Theorie der Transformationsgruppen beschäftigen, gelesen werden.