Über die Gestalt der auf algebraischen Kurven nirgends singulären linearen Differentialgleichungen zweiter Ordnung. (Q1498530)

Von \textit{F. Klein} (F. d. M. 26, 334, JFM 26.0334.00 und 373, 1895, JFM 26.0334.01) stammt die formentheoretische Datstellung der auf einer singularitätenfreien ebenen Kurve vierter Ordnung \(C_4:f(x_1,x_2,x_3)=0\) nirgends singulären linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung: (1) \((\varPi f)_2+\varOmega\varPi=0\), wo \(\varOmega\) eine beliebige ganze Form zweiten Grades, \(\varPi\) eine gewisse Form des Grades \(-\frac 12\) und \((\varPi f)_2\) die zweite Überschiebung von \(\varPi\) über \(f\) bedeutet. \textit{Klein} vermutete aber auch, daß die Gestalt (1) für eine singularitätenfreie \(C_n\) gültig sein möchte, wenn man nur \(\varOmega\) durch eine beliebige ganze Form \((2n-6)\)-ten Grades ersetzt, und den Grad von \(\varPi\) der Theorie der polymorphen Formen gemäß zu \(-\frac 12(n-3)\) ansetzt. Die Form \(\varOmega\) hängt dann mit Rücksicht auf \(f=0\) gerade noch von \(3p-3\) Koeffizienten ab, wie es sein müßte. Der Verf. beweist kurz diese Angaben und gibt zugleich die Ausdehnung auf singularitätenfreie, in höheren Räumen gelegene vollständige Schnittkurven. Für die singularitätenfreien Kurven in der Ebene ergibt sich der Beweis unmittelbar bei Beantwortung der Frage, wann denn überhaupt die zweite Überschiebung von \(\varPi\) über \(f\) für die verschiedenen vermöge \(f=0\) möglichen Darstellungsweisen des \(\varPi\) das gleiche Resultat gibt. Zu dem Behuf hat man die auf der \(C_n\) überall endliche und nirgends verschwindende Differentialform \(-(n-3)\)-ten Grades \(dw\) in geeigneter (invariantentheoretischer) Gestalt einzuführen. Weiter sind die ``akzessorischen'' Parameter, d. h. die Koeffizienten der Form \(\varOmega\), so zu bestimmten, daß sich die Stelle \(x_1:x_2:x_3\) auf der \(C_n\) eindeutig durch den Quotienten \(\eta =\varPi_1/\varPi_2\) zweier Lösungen von (1) festlegen läßt. Diese Aufgabe ließ sich nach \textit{Klein} für die \textit{Klein}sche \(C_4\) mit 168 und die \textit{Wiman}sche \(C_6\) mit 360 Kollineation in sich einfach erledigen. Die bezüglichen Schlüsse werden hier durch einfache Rechnung verifiziert. Nunmehr kommen solche Kurven in Betracht, die \textit{nicht} in eine ebene singularitätenfreie \(C_n\) eineindeutig transformierbar sind. Man wird eine zu (1) analoge Gestalt der nirgends singulären Differentialgleichung erhalten, wenn man die Kurve auf eine in einem höheren Raume gelegene singularitätenfreie Kurve (z. B. die Normalkurve der \(\varphi_i\)) bezieht und an diese die Differentialgleichung anschließt. Dies läßt sich leicht ausführen, wenn jene Kurve der vollständige Schnitt einer der Dimension entsprechenden Anzahl algebraischer Flächen ist, wie es für die Normalkurve der \(\varphi_i\) wenigstens für \(p=4\) und \(p=5\) feststeht. Möge etwa im \(R_4\) eine solche Kurve als Schnitt dreier Flächen \(u=0\), \(v=0\), \(w=0\) von den Ordnungen \(l,m,n\) gegeben sein und die Differentialgleichung der unverzweigten polymorphen Formen \(\varPi (x_1,\dots ,x_5)\) eines gewissen Grades \(s\) gesucht werden. \(\varOmega\) wird als beliebige quadratische ganze Form der \(\varphi_i\) angesetzt und da letztere mit der Gesamtheit aller ganzen Formen \((l+m+n-5)\)-ten Grades zusammenfallen, so ist \(\varOmega\) eine beliebige ganze Form von doppelt so hohem Grade. Man hat dann aus \(u,v,w,\varPi\) geeignete Überschiebungen vom Grade \(2(l+m+n-5)+s\) zu bilden. Damit gelangt man in der Tat zu der in Rede stehenden nirgends singulären Differentialgleichung.