Untersuchungen über die die geodätische Abbildung zweier Flächen konstanten Krümmungsmaßes aufeinander. (Q1498630)

In der vorliegenden Arbeit wird zunächst die allgemeinste geodätische Abbildung zweier Flächen konstanten Krümmungsmaßes aufeinander analytisch untersucht. Die Durchführung der Rechnung ist mittels elliptischer Funktionen möglich. Der Verf. beweist zuerst den schon von \textit{Koenigs} angegebenen Satz, daß die allgemeinste \textit{Liouville}sche Form des Quadrats des Linienelements einer Fläche von konstantem Krümmungsmaß \(k\) \[ dl^2=-\frac 1k(\wp u-\wp (iv))(du^2+dv^2) \] lautet, wo \(\wp u\) eine \textit{Weierstraß}sche Pefunktion mit beliebigen, von \(k\) unabhängigen reellen Invarianten bedeutet. Sodann wird gezeigt, daß diese Aufgabe identisch ist mit der schon früher von \textit{H. A. Schwarz} gelösten, eine Halbkugel konform auf ein Rechteck abzubilden. Die weiteren Ergebnisse lassen sich in folgenden Sätzen zusammenfassen: Wenn zwei Flächen konstanten Krümmungsmaßes aufeinander geodätisch abgebildet werden, so entsprechen -- abgesehen von dem Falle, in dem die Linienelemente auf die den Rotationsflächen zukommende Form gebracht sind -- einander zwei solche Orthogonalsysteme von Kurven, die eine konforme Abbildung eines passend begrenzten Stückes jeder Fläche auf je ein Rechteck bewerkstelligen. Diese Abbildung wird nach den \textit{Schwarz}schen Untersuchungen durch je eine Pefunktion mit reellen Invarianten vermittelt. Die Punkte der Begrenzungen der beiden Rechtecke sind in der Weise aufeinander bezogen, daß den zugehörigen Werten der einen Pefunktion die der anderen eindeutig und eindeutig umkehrbar entsprechen. Die drei Ecken des einen Rechtecks, für die die eine Pefunktion endliche Werte besitzt, entsprechen den drei Ecken des andern von derselben Beschaffenheit; die vierte Ecke, für die die Funktion unendlich groß wird, entspricht nicht der vierten Ecke des anderen Rechtecks. \textit{Affin-geodätisch} wird solche geodätische Abbildung genannt, bei der ein orthogonal-geodätisches Kurvensystem sich selbst entspricht. Bei jeder affin-geodätischen Abbildung zweier Flächen konstanten Krümmungsmaßes aufeinander gibt es stets und nur ein einfach unendliches System von geodätischen Kreisen mit demselben Radius, das invariant bleibt. Schließlich wird noch der für die Flächen konstanten Krümmungsmaßes charakteristische Satz bewiesen: Lassen sich zwei Flächen in der Art aufeinander geodätisch abbilden, daß eine einfach unendliche Schar geodätischer Kreise von demselben Radius eine ebensolche Schar zum Bilde hat, so ist das Krümmungsmaß beider Flächen konstant.