Über die Bekleidung einer Oberfläche mit einem biegsamen unausdehnbaren Netz. (Q1498631)

Ein Kurvennetz \((u,v)\) soll als ``Gewebe'' bezeichnet werden, wenn die Bogendifferentiale der beiden von einem Knotenpunkt ausgehenden Fäden einer Masche gleich demselben Differential \(d\varphi\) sind, also \[ ds^2=\left(\frac {\partial\varphi }{\partial u} \right)^2du^2+2\frac {\partial\varphi }{\partial u}\frac {\partial\varphi }{\partial v} \cos\alpha \,du\,dv+\left(\frac {\partial\varphi }{\partial v}\right)^2 dv^2 \] gesetzt werden kann. Die Kurven \(\varphi=\)const. halbieren das Supplement des Koordinatenwinkels \(\alpha\). Die \textit{Tschebyscheff}schen äquidistanten Kurven ergeben sich speziell für \(\varphi =U+V\). Ist \(\alpha =\alpha (\varphi )\), so wird das Gewebe ``gestreift'' genannt. Die Winkelhalbierenden eines gestreiften Gewebes bilden ein orthogonal-geodätisches System. In einem gestreiften Gewebe haben die Maschen eines Streifens dieselbe (geodätisch gemessene) Höhe; ferner sind an jedem Knoten die geodätischen Krümmungen einander gleich. Ein aus geodätischen Linien gebildetes gestreiftes Gewebe kann nur auf den Rotationsflächen und deren Biegungen bestehen. Bilden die Asymptotenlinien ein Gewebe, so ist das Krümmungsmaß der Fläche längs der einen Schar von Krümmungslinien konstant; bilden sie ein gestreiftes Gewebe, so ist die Fläche eine Rotationsfläche.