Über diejenigen Flächen, welche durch zwei Scharen von Kurven konstanter geodätischer Krümmung in infinitesimale Rhomben zerlegt werden. (Q1498632)

Eine Fläche wird durch ein Kurvennetz in infitesimale Rhomben zerlegt, wenn unter Zugrundelegung der Kurven \(u\)=const, \(v\)=const dieses Netzes als Koordinatenlinien \(E=G\) ist. Aus der Bedingung, die natürlich nur für spezielle Klassen aufeinander abwickelbarer Flächen zulässig ist, daß die geodätischen Krümmungen \(g_u=-c_1\), \(g_v=-c\) konstant sein sollen, ergibt sich \textit{zunächst für den Fall} \(c_1\not =\pm c\) die Existenz einer Funktion \(\psi\), die der partiellen Differentialgleichung zweiter Ordnung \[ (A)\quad \frac {\partial^2\psi }{\partial u_1\partial v_1}-\frac {\partial^2\psi}{\partial u_1^2}=\frac {\partial\psi}{\partial v_1}\sqrt {\left(\frac {\partial\psi}{\partial v_1}\right)^2-\left(\frac {\partial\psi}{\partial u_1}\right)^2} \] genügt, in der \(u_1=cu+c_1v\), \(v_1=c_1u+cv\) gesetzt ist. Nach Integration dieser Gleichung ist \[ \sqrt E =\frac {\partial\psi}{\partial v_1},\quad F=\frac {\partial\psi}{\partial u_1}\cdot\frac {\partial\psi}{\partial v_1}; \] übrigens teilt das Netz \((u_1,v_1)\) die Fläche ebenfalls in unendlich kleine Rhomben ein. Partikulare Lösungen der Differentialgleichung (A) führen auf die Flächen konstanten Krümmungsmaßes, sowie auf eine spezielle Klasse von Flächen, bei denen \(E,F,G\) homogene Funktionen \((-2)\)-ten Grades von \(u\) und \(v\) sind, und die daher auf bestimmte Rotationsflächen abwickelbar sind; sie haben ferner die Eigenschaft, daß zu einem und demselben Koordinatenwinkel noch \(\infty^1\) Linienelemente gehören. In dem \textit{anderen Fall}, \(c_1=\pm c\), ist die Aufgabe durch Quadraturen lösbar. Man kommt auch hier wieder zu Flächen, die Biegungen von Rotationsflächen sind. Endlich wird noch der Fall \(c_1=c=0\) besprochen, wo also das rhombische Netz aus geodätischen Linien besteht. Hier gilt der wichtige Satz, daß jede Fläche, die durch zwei Scharen geodätischer Linien rhombisch geteilt wird, eine \textit{Liouville}sche Fläche sein muß, d. h. eine Fläche vom Linienelement \[ ds=\sqrt {(U+V)(du^2+dv^2)}. \] Dieser Satz läßt sich umkehren. Eine besondere Untersuchung wird den betrachteten Netzen auf den Flächen konstanten Krümmungsmaßes gewidmet. Bestimmung aller aus geodätischen Linien gebildeten Kurvennetze mit rhombischer Teilung auf den abwickelbaren Flächen führt auf die Differentialgleichung \[ \text{tg}(U+V)=\frac {{V'}^2-{U'}^2}{V''-U''}, \] deren Lösung durch elliptische Funktionen geschieht. Die geometrische Bedeutung dieser Lösung ist folgende: Die Tangenten jedes Kegelschnittes bilden eine doppelte Schar von geodätischen Linien in der Ebene, die durch sie rhombisch geteilt wird. Einige Bemerkungen allgemeiner Natur über die geodätische Krümmung eines Kurvensystems beschließen die Arbeit.