On the relation between the threeparameter-groups of a cubic space curve and a quadric surface. (Q1498683)

Es gibt eine dreigliedrige Gruppe \(G_3\) von Kollineationen, die eine kubische Raumkurve \(C^3\) in sich transsformieren, desgleichen eine zu \(G_3\) reziproke Gruppe \(F_3\). Anderersits enthält die sechsgliedrige projektive Gruppe, die eine Fläche zweiter Ordnung \(Q\) in sich überführt, zwei dreigliedrige Untergruppen, \(\varGamma_3\) und \(\varPhi_3\), bei denen je eine Reihe von Erzeugenden in Ruhe bleibt. \textit{Lie} hat bereits erkannt, daß die Gruppen \(G_3\) und \(\varGamma_3\) ähnlich sind, und hat sie auch durch eine Transformation ineinander übergeführt. Diese ist indessen nicht durchsichtigt genug, um ihre Wirkung auf die mit der \(C^3\) und \(Q\) verbundenen geometrischen Gebilde zu erkennen. Der Verf. stellt zu dem Behuf eine einfachere Transformation \(T\) auf. Zu dieser Transformation \(T\) gelangt man, wenn man die Gleichungen der \(G_3\) und \(\varGamma_3\) in endlicher Form aufstellt, wodurch sie leichter vergleichbar werden. Vermöge derselben Transformation \(T\) geht auch die \(\varPhi_3\) in die \(F_3\) über. Zugrunde wird eine allgemeine trilineare binäre Form \(A=(\alpha x)(\beta y)(\gamma z)\) gelegt. Die acht Koeffizienten von \(A\) werden als homogene Punktkoordinaten in einem \(S_7\) gedeutet. Gemäß der \textit{Clebsch-Gordan}schen Formel zerlegt sich \(A\) in die Summe \(A_1+A_2\), wo \(A_1=(px)(py)(pz)\), wenn \((px)^3=(\alpha x)(\beta x)(\gamma x)\). Jede der beiden Formen \(A_1,A_2\) führt nur noch vier homogene Konstanten mit sich, nämlich \(A_1\) die Koeffizienten von \((px)^3\) und \(A_2\) die sechs Größen \((\beta\gamma )\alpha_i, (\gamma\alpha )\beta_i, (\alpha\beta )\gamma_i\) \((i=1,2)\), die aber gemäß der Identität \((\beta\gamma )(\alpha x)+(\gamma\alpha )(\beta x)+(\alpha\beta )(\gamma x)=0\) an zwei lineare Relationen gebunden sind. Man bilde die Formen \(A_1,A_2\) als die Punkte eines \(S_3\) resp. \(\Sigma_3\) im \(S_7\) ab. Unterwirft man die \((x),(y),(z)\) kogredient einer linearen Substitution, so wird \(S_7\) durch eine dreigliedrige projektive Gruppe transformiert, die im invarianten \(S_3\) eine kubische Raumkurve \(C^3\) und im invarianten \(\Sigma_3\) eine Fläche zweiten Grades \(Q\) ungeändert läßt. Damit sind für den \(S_3\) und \(\Sigma_3\) Koordinatensysteme gewonnen, wie sie für die vorliegende Untersuchung zweckmäßig sind. Die Darstellung eines \(S_3\) durch eine binäre kubische Form \(f=p=(px)^3\) ist wohl bekannt. Es wird hier mit Vorteil die von \textit{Study} herrührende invariante Zerlegung der Form \(f\) in lineare Faktoren \((\lambda x),(\mu x),(\nu x)\) herangezogen (F. d. M. 26, 143, 1895, JFM 26.0143.01). Die Gruppe \(G_3\) läßt sich dann in irgendeiner der drei gleichberechtigen Formen schreiben: \((\lambda 'x)=(\lambda d)(\delta x)\), \((\mu 'x)=(\mu d)(\delta x)\), \(\nu '(x)=(\nu d)(\delta x)\), wo \((dy)(\delta x)\) eine allgemeine lineare binäre Transformation bedeutet. Die Kovarianten und das Verschwinden der Invariante von \(f\) erhalten auf der \(C^3\) eine einfache (übrigens schon längst bekannte) geometrische Bedeutung; die Gleichung der allgemeinsten algebraischen Flächen der Ordnung \(n\) im \(S_3\), sowie derjenigen, die die \(C^3\) enthalten, lassen sich sofort hinschreiben: unter letzteren ist ein System von Flächen \(S^6\) von Interesse, das durch die \(G_3\) in sich transformiert wird. Nunmehr wendet sich der Verf. zu einer entsprechenden Darstellung der Fläche \(Q\) im \(\Sigma_3\), sowie der beiden Gruppen \(\varGamma_3\) und \(\varPhi_3\). Ein Punkt in \(\Sigma_3\) wird nach obigem durch die Koeffizienten dreier binären Linearformen \((lx),(mx),(nx)\) gegeben, mit der Identität \((lx)+(mx)+(nx)=0\). Die Fläche \(Q\) erhält damit die gleichzeitige Darstellung \((mn)\equiv (nl)\equiv (lm)=0\), womit auch ihre Erzeugenden in einfacher Gestalt gegeben sind. Drei gewisse Erzeugende der ersten Art werden herausgegriffen und durch eine kubische Form dargestellt, und diesen werden drei gewisse Erzeugende der zweiten Art zugeordnet, indem je zwei solche durch eine Tangentialebene verbunden werden. Damit ergibt sich eine Reihe bemerkenswerter Konfigurationen auf der Fläche \(Q\), die geometrisch und formentheoretisch verfolgt werden. Insbesondere gibt der Schnittpunkt jener drei Tangentialebenen, indem die drei Erzeugenden zweiter Art permutiert werden, Anlaß zu einem merkwürdigen Sechseck, dem dann dualistisch ein Sechsflach korrespondiert. Damit sind zwei Arten von Identitäten verknüpft, und diese lassen sich geradezu als Gleichungen der \(\varGamma_3\), resp. der reziproken \(\varPhi_3\) auffassen. Nunmehr läßt sich die Transformation \(T\), die \(G_3\) und \(\varGamma_3\) ineinander überführt, in einfacher Weise definieren durch die Identitäten: \((\lambda x)=\frac 3{(mn)^2}(lx)\), \((\mu x)=\frac 3{(nl)^2}(mx)\), \((\nu x)=\frac 3{(lm)^2}(nx)\), falls man diese als eine Transformation des \(S_3\) in den \(\Sigma_3\) auffaßt. Dann aber wird vermöge \(T^{-1}\) die Gruppe \(\varPhi_3\) in die \(F_3\) transformiert. Diese Transformation \(T\) wird weiter verwendet, um eine Reihe von ausgezeichneten Mannigfaltigkeiten im \(S_3\) zu transformieren, unter anderen eine charakteristische Fläche dritter Ordnung, sowie gewisse Flächen, die die \(C^3\) enthalten. Eine entsprechende Untersuchung wird angestellt für die Transformation ausgezeichneter Gebilde im \(\Sigma_3\) vermöge \(T^{-1}\). Die Gebilde im \(S_3\) und \(\Sigma_3\) treten dadurch in enge Beziehung zueinander. Am Schlusse wird noch die Gruppe \(F_3\) genauer untersucht, und es werden u. a. die Mannigfaltigkeiten niedrigsten Grades ermittelt, die vermöge der \(F_3\) ineinander übergehen. Einer Ebene im \(S_3\) entspricht eine Fläche 18. Ordnung, die die \(C^3\) sechsfach enthält, mit siebenfachen Punkten in den Schnittpunkten der Ebene mit der \(C^3\). Diese und ähnliche Ergebnisse zeigen den Wert der für die verschiedenen Gruppen aufgestellten kanonischen Gestalten. Trotz aller Eleganz der ausgeführten formentheoretischen Entwicklungen wird der Leser die Empfindung einer gewissen Künstlichkeit nicht unterdrücken können, und z. B. eine organischere Einordnung der zugrunde gelegten trilinearen Form in den Zusammenhang des Ganzen vermissen.