Über die projektive Gruppe einer Mannigfatigkeit zweiten Grades. (Q1498750)

Diese Abhandlung behandelt dieselbe Aufgabe wie die entsprechende über das Nullsystem (Referat vorstehend); nur wird jetzt die Stufenzahl \(m+1\) ungerade angenommen. Es zeigt sich jetzt, daß für jedes \(n\) eine Untergruppe von der verlangten Beschaffenheit vorhanden ist, nämlich die \(\frac 12 n(n+1)\)-gliedrige projektive Gruppe einer nicht ausgearteten Mannigfaltigkeit zweiten Grades, und die Zahl \(m\) kann jeden geraden Wert zwischen 0 und \(n\) annehmen. Ist \(n\) weder gleich 5, noch gleich 7, so ist diese Gruppe zugleich die einzige Untergruppe von der verlangten Beschaffenheit. Für \(n=5\) gibt es außerdem noch eine achtgliedrige und für \(n=7\) noch eine 21-gliedrige Untergruppe der verlangten Art, sonst aber keine weiter. Die erste kann so gewählt werden, daß sie angibt, wie die \(\infty^5\) Kegelschnitte bei der allgemeinen projektiven Gruppe der Ebene untereinander vertauscht werden. Die zweite ist eine Untergruppe der projektiven Gruppe einer Mannigfaltigkeit zweiten Grades im \(R_7\). Bestimmt man die \(\infty^6\) ebenen zweifach ausgedehnten Mannigfaltigkeiten einer Mannigfaltigkeit zweiten Grades des \(R_6\) durch acht homogene Parameter, zwischen denen eine Relation zweiten Grades besteht, und untersucht man, wie diese acht Parameter bei der 21-gliedrigen projektiven Gruppe der Mannigfaltigkeit zweiten Grades des \(R_6\) transformiert werden, so gelangt man gerade zu dieser zweiten Gruppe. Die vom Verf. gegebene Definition der Gruppe ist von der eben angedeuteten nur formell verschieden.