Un problema sui sistemi si linee fra loro coniugate e sulle relative trasformazioni di \textit{Laplace}. (Q1498752)

Jedes System von konjugierten Kurven kann durch ein System von drei linearen partiellen Differentialgleichungen von der Form: \[ (1)\quad x_{uv}=Ax_u+Bx_v \] definiert werden und liefert durch die beiden \textit{Laplace}schen Transformationen: \[ x_1=x-x_v:A,\quad x_2=x-x_u:B \] zwei neue konjugierte Systeme. Sind diese beiden neuen Systeme orthogonal, also die Krümmungslinien auf zwei Flächen \(\Sigma_1\) und \(\Sigma_2\), so nennt der Verf. das ursprüngliche ein konjugiertes System \((G)\), offenbar weil \textit{Guichard} diesen Fall zuerst untersucht hat (F. d. M. 32, 667, 1901, JFM 32.0667.01). In \(\S\S\) 1 u. 2 werden die charakteristischen Eigenschaften der Systeme \((G)\) aufgestellt. Vermöge zweier Sätze von \textit{Guichard} wird in \(\S\S\) 3 u. 4 die Bestimmung der konjugierten Systeme \((G)\) auf den Fall zurückgeführt, wo das System der Differentialgleichungen (1) die Form: \[ (1')\quad x_{uv}=\varphi_vx_u+\varphi_ux_v \] mit gleichen Invarianten hat. Die Invariante \(H\) ist dabei \(=\varphi_u\varphi_v-\varphi_{uv}\), und \(\varphi\) genügt einer partiellen Differentialgleichung vierter Ordnung, deren partikulare Lösungen jede ein System \((G)\) liefern. Soll umgekehrt \(H\) die Invariante eines Systems \((1')\) sein, so muß \(H\sin w.w_{uv}=1\) werden, wo \(w\) wieder einer partiellen Differentialgleichung vierter Ordnung genügt, worauf dann \(\varphi\) durch Integration gewöhnlicher Differentialgleichungen erhalten wird. Mittels Transformation durch reziproke Radien ergeben sich ferner aus jeder Fläche \(\Sigma_1\), die zu einem Systeme \((G)\) in der vorhin erwähnten Beziehung steht, neue Flächen \(\Sigma_1\) dieser Art und ebenso aus jeder Fläche \(\Sigma_2\) neue Flächen \(\Sigma_2\). Man wird auf diese Weise in den Stand gesetzt, aus jedem konjugierten Systeme \((G)\) mit gleichen Invarianten unendlich viele neue Systeme dieser Art abzuleiten. Der Verf. gibt zwei verschiedene Methoden an, die das leisten; die eine von diesen erfordert die Integration gewöhnlicher Differentialgleichungen, die andere dagegen bloß Quadraturen.