Weitere Beiträge zur Theorie der kleinen Schwingungen. (Fortsetzung). (Q1498854)

Bezüglich der vorangehenden Abhandlungen des Verf. über dasselbe Thema vergleiche man F. d. M. 36, 770, 1905, JFM 36.0770.01. In der vorliegenden Arbeit werden von den früheren mathematischen Untersuchungen weitere Anwendungen auf periodische Schwingungen gemacht. Zunächst werden zwei allgemeinere mechanische Systeme behandelt, welche frühere spezielle Aufgaben umfassen, sodann ein anderes allgemeines System mit einer früher noch nicht behandelten speziellen Aufgabe. I. Ein System von \(n\) Freiheitsgraden, dessen Verbindungen von der Zeit \(t\) nicht abhängen, sei durch die \(n\) Koordinaten \(x_1,\dots, x_n\) bestimmt. Die lebendige Kraft \[ T=\frac 12\sum A_{\alpha\beta}(x_1,\dots ,x_m)x_{\alpha}'x_{\beta}'\quad (\alpha ,\beta =1,2,\dots ,n) \] sei eine positive definite quadratische Form der \(x_{\alpha}'=dx_{\alpha}/dt\), deren Koeffizienten \(A_{\alpha ,\beta}\), welche von den Koordinaten \(x_{m+1},\dots ,x_n\) nicht abhängen sollen, als analytische, in der Nähe der Stelle \(x_1=0,\dots ,x_m=0\) reguläre Funktionen von \(x_1,\dots ,x_m\) vorausgesetzt werden. Es sei eine nur von den \(m\) Koordinaten \(x_1,\dots ,x_m\) abhängige Kräftefunktion \[ U=\frac 12\sum_{ik}b_{ik}x_ix_k+\dotsm \quad (i,k=1,2,\dots ,m) \] vorhanden, welche in eine mit den angeschriebenen quadratischen Gliedern beginnende Potenzreihe von \(x_1,\dots ,x_m\) entwickelbar sein möge. II. Der Ausdruck \(T\) aus I stelle wiederum die lebendige Kraft eines Systems von \(n\) Freiheitsgraden dar; die Koeffizienten \(A_{\alpha ,\beta}\) und die Kräftefunktion \(U=U(x_1,\dots ,x_m)\) werden als analytische Funktionen der \(m<n\) Koordinaten \(x_1,\dots ,x_m\) vorausgesetzt. III. Die Bewegung eines Systems von \(n\) Freiheitsgraden werde durch die \textit{Lagrange}schen Gleichungen \[ \frac d{dt}\frac {\partial L}{\partial x_{\alpha}'}-\frac {\partial L}{\partial x_{\alpha}}=0 \] dargestellt, wo \(L\) (das kinetische Potential) eine gegebene Funktion von \(x_1,\dots ,x_n;x_1',\dots ,x_n'\) ist. Als besondere Aufgabe hierzu wird die folgende behandelt: Eine Fläche rotiere mit konstanter Winkelgeschwindigkeit \(\omega\) um eine lotrechte Achse, welche durch eine Stelle \(O\) der Fläche mit wagerechter Tangentialebene geht. Die periodischen Bewegungen eines an die Fläche gebundenen schweren Punktes in der Nähe der Stelle \(O\) werden untersucht. Die Behandlung aller Probleme fällt unter die mathematische Theorie der Differentialgleichungen.