Bewegungen in der Nähe einer Gleichgewichtslage. (Q1498855)

Die Abhandlung schließt sich an den zweiten Teil der Arbeit des Verf. in demselben Journ. 126, 194-232 an (F. d. M. 34, 763, 1903, JFM 34.0763.02). Die Lage eines Systems von \(n\) Freiheitsgraden mit von der Zeit unabhängingen Verbindungen sei durch die \(n\) Hauptkoordinaten \(x_1,\dots ,x_n\) bestimmt. In der Gleichgewichtslage \(O\) sei \(x_1=0,\dots ,x_n=0\). Die Kräftefunktion \(U\) sei in der Umgebung von \(O\) in eine Potenzreihe der \(x_{\alpha}\) entwickelbar: \(U=\sum_{p=2}^{\infty}U_p\); hierin sei \(U_p\) eine ganze homogene Funktion \(p\)-ten Grades der \(x_{\alpha}\), insbesondere \(\frac 12\sum_{\alpha =1}^ns_{\alpha}x_{\alpha}^2=U_2\), wo \(s_i=-\lambda_i^2\) für \(i=1,2,\dots ,m\), dagegen \(s_j=\mu_j^2\) für \(j=m+1,\dots ,n\), wenn \(\lambda_i\) und \(\mu_j\) reelle, positive Größen (\(>0\)) sind. Bezeichnen Akzente an den \(x\) Ableitungen nach \(t\), so erhalten die \textit{Lagrange}schen Gleichungen durch Auflösung nach \({x_{\alpha}}''\) die Gestalt \[ \text{(A)}\quad {x_{\alpha}}''-s_{\alpha}x_{\alpha}=F_{\alpha} (x_1',\dots ,x_n'; x_1,\dots ,x_n)+G_{\alpha} (x_1,\dots ,x_n), \] wo \(F_{\alpha}\) \((\alpha =1,2,\dots ,n)\) eine ganze homogene Funktion zweiten Grades der \(x_{\alpha}'\) ist, deren Koeffizienten Potenzreihen der \(x_{\alpha}\) sind, \(G_{\alpha}\) eine mit quadratischen Gliedern beginnende Potenzreihe der \(x_{\alpha}\). Der Fall \(m=0\), in welchem \(O\) eine stabile Gleichgewichtslage ist, wurde in der eingangs zitierten früheren Arbeit betrachtet. Jetzt wird \(0\leq m\leq n\) angenommen und gezeigt, daß die Gleichungen (A) formell befriedigt werden, wenn man für die Koordinaten \(x_{\alpha}\) gewisse Reihen mit \(n+m\) Konstanten und mit trigonometrischen und Exponentialfunktionen der Zeit setzt. Vorerst werden diese Reihen formal berechnet; ihre Konvergenz wird im allgemeinen durch das Auftreten kleiner Divisoren in Frage gestellt. Die Aufgabe, die Bedeutung der gewonnenen Reihen genauer zu untersuchen und die Reihen zur angenäherten Darstellung der Bewegungen zu benutzen, bleibt noch zu behandeln.