Note au sujet du mouvement des corps pesants à la surface de la Terre dans la chute libre. (Q1498867)

Der Verf. nimmt die Aufgabe in dem Sinne wieder auf, wie sie von \textit{Puiseux} in Ann. de l'Éc. Norm. (2) 1, 23-49 behandelt ist (vgl. F. d. M. 4, 474, 1872, JFM 04.0474.03); wir möchten hinzufügen, auch wie sie von \textit{Bertram} in einer vortrefflichen, aber wenig bekannten Programmabhandlung aus dem Jahre 1869 vor \textit{Puiseux} erledigt worden ist (F. d. M. 2, 714, JFM 02.0714.03). Abweichend von \textit{Puiseux} setzt \textit{de Sparre} voraus, daß die Erdoberfläche eine Oberfläche konstanten Potentials ist: \(U=C\); außerdem wird der Luftwiderstand beim freien Falle proportional dem Quadrate der Geschwindigkeit mit berücksichtigt. In den Bewegungsgleichungen werden nur solche Größen beibehalten, die höchstens von der Größenordnung \(\omega^2\) sind, wo \(\omega\) die Rotationsgeschwindigkeit der Erde bezeichnet. Die \(z\)-Achse des Koordinatensystems wird als Vertikale des Punktes \(O\) im Sinne der Schwere angenommen, die \(y\)-Achse senkrecht zur Meridianebene nach Osten, die \(x\)-Achse in der Meridianebene nach Süden gerichtet. Als Ausdruck des Potentials erhält man so die Formel (3) für einen inneren, die Formel (4) für einen äußeren Punkt: \[ (3)\quad U=U_0+gz+\frac g{2R}(x^2+y^2+2z^2)-\frac {0,1}R.\sin\lambda\cos\lambda .zx, \] \[ (4)\quad U=U_0+gz+\frac g{2R}(x^2+y^2+\frac 45z^2)-\frac {0,1}R.\sin\lambda\cos\lambda .zx. \] Hieraus werden, immer unter Vernachlässigung der Glieder von der Ordnung \(\omega^3\) an, die beiden Differentialgleichungen der Bewegung für \(x\) und \(y\) hergeleitet: \[ (9)\quad \frac {d^2x}{dt^2}=2\omega\sin\lambda\frac {dy}{dt}-\frac {0,1}R\sin\lambda\cos\lambda .z-\mu v^2\frac {dx}{ds}, \] \[ (10)\quad \frac {d^2y}{dt^2}=2\omega\cos\lambda\frac {dz}{dt}-\mu v^2\frac {dy}{ds}, \] gültig für innere und äußere Punkte (\(\lambda\)=geographische Breite, \(R\)=mittlerer Erdradius). Für einen äußeren Punkt gilt ferner: \[ (7)\quad \frac {d^2z}{dt^2}=g+\frac {2gz}R-\frac {0,1}R\sin\lambda\cos\lambda .x-2\omega\cos\lambda\frac {dy}{dz}-\mu v^2\frac {dz}{ds}. \] Die Integration dieser Gleichungen führt dann schließlich zu dem folgenden Ergebnisse. Ist \(h\) die Fallhöhe, so ist die südliche Abweichung: \[ x=\frac {4\omega^2}{23}\frac {h^2}g\sin\lambda\cos\lambda , \] unabhängig vom Luftwiderstande und so klein, daß bei \(h=1000m\) die südliche Abweichung noch nicht ein Zwanzigstel eines Milimeters beträgt, also zu vernachlässigen ist. Die östliche Abweichung wird: \[ y=\frac {2\omega\cos\lambda h\sqrt {2h}}{3\sqrt g}\left( 1-\frac {\mu^2h^2}{56}\right) . \] Bei einer homogenen Kugel vom Durchmesser \(a\) und spezifischen Gewicht \(\varrho\) ist \(\mu =3/100a\varrho \). Daher kann das Glied mit \(\mu^2\) vernachlässigt werden, und man erhält dann den bekannten Betrag der östlichen Abweichung. In einem Nachtrage: ``Note au sujet des termes du troisième degré dans le développement du potentiel'' rechtfertigt der Verf. die bei der Ableitung gemachte Annahme, daß man die Glieder dritten Grades in der Entwicklung des Potentials vernachlässigen darf, wenn es sich um einen Punkt handelt, dessen Entfernung von der Erdoberfläche mit dem Erdradius nicht vergleichbar ist, weil damit nur Glieder von der Ordnung \(1/R^2\) vernachlässigt werden.