Sur une inégalité importante dans l'étude des quasi-ondes de choc. (Q1498965)

Die hier abgeleitete Ungleichheit lautet: \[ (5)\quad k(\varrho_0,T_0)\frac {\partial T_0}{\partial n_0}+k(\varrho_1,T_1)\frac {\partial T_1}{\partial n_1}+\int_{M_0}^{M_1}V\varrho T\frac {\partial\sigma (\varrho ,T)}{\partial l}dl<0. \] Bedeutung der Bezeichnungen: \(\varrho\) die Dichte, \(T\) die Temperatur, \(k(\varrho ,T)\) der Koeffizient der Wärmeleitung als Funktion von \(\varrho\) und \(T\), die Zeiger 0 und 1 beziehen sich auf die Punkte \(M_0\) und \(M_1\) (vgl. das vorangehende Referat), \(n\) die nach außen gerichtete Oberflächennormale, \(l\) die Richtung der Normale \(M_0M_1\) zu \(S_0\) mit den Richtungskosinus \(\alpha,\beta,\gamma\), \(\sigma(\varrho,T)dm\) die Entropie der Elementarmasse \(dm\), \(V\) die Fortpflanzungsgeschwindigkeit der Scheinwelle in bezug auf das im Augenblicke \(t\) in \(M\) befindliche Flüssigkeitselement. -- Eine zwischen dem größten und dem kleinsten Werte des Produktes \(V\varrho T\) befindliche Größe kann immer in die Gestalt \(\mathfrak{BRT}\) gebracht werden, wo \(\mathfrak B\) zwischen \(V_0\) und \(V_1\), \(\mathfrak R\) zwischen \(\varrho_0\) und \(\varrho_1\), \(\mathfrak T\) zwischen \(T_0\) und \(T_1\) liegt. Deshalb darf man die Ungleichheit auch so schreiben: \[ (6)\quad k(\varrho_0,T_0)\frac {\partial T_0}{\partial n_0}+k(\varrho_1,T_1)\frac {\partial T_1}{\partial n_1}+\mathfrak{BRT}[\sigma (\varrho_1,T_1)-\sigma (\varrho_0,T_0)]<0. \]