Über das logarithmische Potential. (Q1498977)

Der Aufsatz verfolgt einen doppelten Zweck. Einmal soll er, unter Beschränkung auf das logarithmische Potential, eine übersichtliche Darstellung eines Teils der Resultate geben, zu denen der Verf. in seinem älteren Werke ``Untersuchungen über das Logarithmische und \textit{Newton}sche Potential'', Leipzig 1877 (s. F. d. M. 10, 658, 1878, JFM 10.0658.05), gelangt war. Sodann aber werden jene Resultate in einem wesentlichen Punkte erweitert. Im ersten teil schließt sich an die Definition des logarithmischen Potentials die Berechnung desselben für den Kreisring und die Kreisfläche, für den von zwei konfokalen Ellipsen begrenzten Flächenring, die Ellipsenfläche sowie für einen Flächenring, der von zwei ähnlichen Ellipsen begrenzt ist. Es folgen die Haupteingenschaften der \textit{Potentialfunktion}, die für ein Gebiet als Potential definiert wird, dessen Massen außerhalb, resp. am Rande des Gebiets liegen. Zu unterscheiden sind dabei Gebiete \(\mathfrak F\), die innerhalb einer geschlossenen, sich nicht schneidenden Kurve \(\sigma\) liegen, und Gebiete \(\mathfrak U\), die außerhalb \(\sigma\) liegen. Für beide Arten von Gebieten wird gezeigt, daß die Potentialfunktion durch die Randwerte eindeutig bestimmt ist, ferner daß dieselbe sich stets als Potential von Randbelegungen darstellen läßt. Weitere Sätze beziehen sich auf die \textit{natürliche} Randbelegung, d. h. diejenige, für welche die Werte der Potentialfunktion am Rande konstant sind, sowie auf die \textit{Green}sche Funktion und die zugehörige \textit{Green}sche Randbelegung. In bezug auf die \textit{Green}schen Randbelegungen wird im zweiten Teil des Aufsatzes das folgende neue Resultat abgeleitet. Für eine gegebene Kurve \(\sigma\) sei \(\zeta_{\sigma}^{(i)}\) die Dichtigkeit der \textit{Green}schen Belegung, falls der Pol ein innerer Punkt \(i\) ist, \(\eta_{\sigma}^{(a)}\) die Dichtigkeit, falls der Pol ein äußerer Punkt \(a\) ist. Man fixiere jetzt den Punkt \(\sigma\) der gegebenen Kurve, so daß \(\zeta_{\sigma}^{(i)}\) nur noch eine Funktion von \(i\), \(\eta_{\sigma}^{(a)}\) nur noch eine Funktion von \(a\) ist. Dann sind diese beiden Funktionen darstellbar als Potentiale ein und derselben Kurvenbelegung, und zwar derjenigen, deren Dichtigkeit in einem Punkte \(s\) der gegebenen Kurve den Wert hat \[ \varDelta_s^{(\sigma )}=-\frac 1{2\pi}\left\{\frac {\partial\zeta_{\sigma}^{(s)}}{\partial n}-\frac {\partial\eta_{\sigma}^{(s)}}{\partial N}\right\} , \] wobei \(n\) die innere, \(N\) die äußere Normale an der Stelle \(s\) bezeichnen. Die Berechnung der Funktionen \(\zeta_{\sigma}^{(i)}\) und \(\eta_{\sigma}^{(a)}\) ist hiermit auf die Berechnung einer einzigen Funktion \(\varDelta_s^{(\sigma )}\) reduziert, die \textit{Neumann} als \textit{Grundfunktion} bezeichnet, während die Massenbelegung, deren Dichtigkeit durch \(\varDelta_s^{(\sigma )}\) dargestellt wird, den Namen \textit{Grundbelegung} führt. Übrigens ist \(\varDelta_s^{(\sigma )}\) symmetrisch in bezug auf die beiden Punkte \(s\) und \(\sigma\) der gegebenen Kurve, so daß die dem Punkte \(\sigma\) entsprechende Grundbelegung \([\varDelta_s^{(\sigma )}]\) im Punkte \(s\) genau dieselbe Dichtigkeit hat, die umgekehrt die dem Punkte \(s\) entsprechende Grundbelegung \([\varDelta_{\sigma }^{(s)}]\) im Punkte \(\sigma\) besitzt. In den letzten Paragraphen der Arbeit wird die Grundbelegung für den Kreis und die Ellipse aus den \textit{Green}schen Belegungen berechnet. Für den Kreis vom Radius \(\varrho\) wird \[ \varDelta_s^{(\sigma )}=\frac {-1}{4\pi^2\varrho^2\text{lg}\varrho}-\frac 1{\pi^2}\left(\frac 1{(s\sigma )}\right)^2, \] wo \((s\sigma )\) den Abstand der Punkte \(s\) und \(\sigma\) bezeichnet. Das entsprechende Resultat für die Ellipse wird zunächst in Form einer Reihe abgeleitet und dann mittels der \textit{Jacobi}schen Thetafunktionen vereinfacht. So ergibt sich: Sind \(\lambda ,\vartheta_s\) und \(\lambda ,\vartheta_{\sigma}\) die elliptischen Koordinaten der Punkte \(s,\sigma\) einer Ellipse, deren Brennlinie die Länge \(2k\) hat, ist ferner \[ 2u=\vartheta_s-\vartheta_{\sigma},\quad 2v=\vartheta_s+\vartheta_{\sigma}, \] \[ \psi_s=\left(\frac k2\right)^2\{ e^{2\lambda}+e^{-2\lambda}-2\cos 2\vartheta_s\} , \] \[ \psi_{\sigma}=\left(\frac k2\right)^2\{ e^{2\lambda}+e^{-2\lambda}-2\cos 2\vartheta_{\sigma}\} , \] so ist \[ \varDelta_s^{(\sigma )}=-\frac 1{8\pi\sqrt {\psi_s\psi_{\sigma}}}\left\{ [\vartheta_2(0)\vartheta_3(0)]^2\left[\left(\frac {\vartheta (u)}{\vartheta_1(u)}\right)^2-\left(\frac {\vartheta_1(v)}{\vartheta (v)}\right)^2\right] +\frac 1{\sin^2u}-\frac 2{\lambda -\mathfrak{K}}\right] . \] Dabei hat das in den Thetafunktionen auftretende \(q\) den Wert \(q=e^{-2\lambda}\), ferner ist \[ \mathfrak{K}=\log\left(\frac 2k\right) . \]