Sopra un problema di elettrostatica ehe si è presentato nella costruzione dei cavi. (Q1499444)

Für die Konstruktion von Kabeln ist es wichtig, das Spannungsgefälle in der isolierenden Schicht zu kennen, da dieses einen bestimmten Betrag nicht übersteigen darf, wenn nicht ein Durchschlagen erfolgen soll. Das Gefälle ist nun einerseits der Spannung der durch das Kabel gehenden Ströme proportional, andererseits einer lediglich von der geometrischen Form des Kabelquerschnitts abhängigen Konstante, Der Berechnung der letzteren ist die vorliegende Arbeit gewidmet, und zwar gründet sich die Rechnung auf rein elektrostatische Betrachtungen; daß diese ausreichen, hat der Verf. in einer früheren Arbeit begründet, in der auch die Hauptresultate der vorliegenden Untersuchung schon mitgeteilt sind [vgl. F. d. M. 35, 873, 1904, JFM 35.0873.02]. Für ein Kabel mit nur einem Leitungsdraht ist der Querschnitt der isolierenden Schicht ein von zwei konzentrischen Kreisen begrenzter Ring; die Kreisradien seien \(R\) (äußerer) und \(r\) (innerer). Für ein aus mehreren Drähten bestehendes Kabel ergibt sich der Querschnitt \(\sigma\), indem man \(m (\geqq 6)\) Kreise konstruiert, deren jeder die beiden benachbarten und den Kreis \(r\) berührt. Die äußeren Bogen dieser Berührungskreise bilden die innere Begrenzung \(T\) von \(\sigma\), während die äußere Begrenzung auch hier von dem Kreise \(R\) gebildet wird. In dem so definierten Gebiete \(\sigma\) bestimme man dasjenige logarithmische Potential \(V\), das an \(T\) den Wert 0, an \(R\) den Wert 1 annimmt: dann ist die gesuchte Konfigurationskonstante \(G\) der Maximalwert von \[ \sqrt{\left(\frac{\partial V}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial V}{\partial y}\right)^2}\quad\text{in }\sigma. \] Zur Bestimmung von \(G\) wird die zu \(V\) assoziierte Funktion \(U\) eingeführt, die nur eindeutig ist, wenn das zweifach zusammenhängende Gebiet \(\sigma\) durch einen von \(T\) nach \(R\) verlaufenden Querschnitt in ein einfach zusammenhängendes verwandelt wird. In letzterem ist \[ u=U+iV \] eine eindeutige und reguläre Funktion der komplexen Veränderlichen \(z= x + iy = \varrho e^{i\vartheta}\). Ferner hat \(V\) infolge der Konfiguration von \(\sigma\) den gleichen Wert für die Punkte \(\varrho, \vartheta\) und \(\varrho,\vartheta-\frac{2\pi}{m}\)\,, während der Wert von \(U\) in diesen Punkten sich stets um eine Konstante \(2\omega\) unterscheidet. Kehrt man das Abhängigkeitsverhältnis um, so ist \(z\) eine eindeutige und reguläre Funktion von \(u\) in einem Rechteck, dessen Seiten \(V=0\), \(V=1\), \(U=m\omega\), \(U=-m\omega\) sind, mit Ausnahme einzelner auf der Rechteckseite \(V = 0\) liegenden Punkte, die den Spitzen von \(T\) entsprechen. Von dieser Funktion \(z\) wird nun in Anlehnung an die von \textit{H. A. Schwarz} bei Abbildungsaufgaben benutzten Überlegungen gezeigt, daß sie durch den Quotienten der beiden Integrale der folgenden Differentialgleichung dargestellt werden kann: \[ \frac{d^2f}{du^2}+\left(\tfrac14\,\wp(u)+B\right)f=0, \] wo \(\wp(u)\) die \textit{Weierstraß}sche Funktion bezeichnet. Diese Gleichung wird, nachdem die charakteristischen Eigenschaften ihrer Integrale allgemein erörtert sind, angenähert integriert, indem \(\wp(u)\) durch \[ \left(\frac{\pi}{2\omega}\right)^2\frac{1}{\sin^2\left(\frac{\pi u}{2\omega}\right)}-\frac{\eta}{\omega} \] ersetzt und an Stelle der Konstante \(B\) eine andere eingeführt ist. Die angenäherte Gleichung läßt sich, wenn man \[ \xi=e^{\frac{i\pi u}{\omega}} \] als unabhängige Variable einführt, auf die Differentialgleichung der hypergeometrischen Reihe reduzieren, und somit läßt sich \(z\) durch den mit einer Potenz von \(\xi\) multiplizierten Quotienten zweier hypergeometrischen Reihen ausdrücken: \[ z=cR\xi^{-\frac1m}\;\tfrac{F\left(\tfrac12,\tfrac12-\tfrac1m,\,1-\tfrac1m,\,\xi\right)}{F\left(\tfrac12,\tfrac12+\tfrac1m,\,1+\tfrac1m,\, \xi\right)}\,. \] Die Konstante \(c\) ist so zu bestimmen, daß die Grenze, der die rechte Seite für \(\xi = 1\) zustrebt, \(= r\) wird. Aus diesem Ausdruck für \(z\) folgt leicht der Wert der gesuchten Konfigurationskonstante \(G\): \[ G= \frac{e^{-\mu}}{r[\log R-\log r-\mu]}\cdot F^2\left(\tfrac12,\tfrac12,1+\tfrac1m,\tfrac12\right), \] wo \(\mu\) mit der in dem Ausdruck für \(z\) enthaltenen Konstante \(c\) durch die Gleichung \[ c=\frac{r}{R}\;e^\mu \] zusammenhängt. Es wird dann noch untersucht, welchen Einfluß die vorher vernachlässigten Glieder auf das Resultat haben können. Dieser Fehler ergibt sich als höchstens von der Ordnung \[ 16\left(\tfrac{r}{R}\right)^m, \] so daß für die praktische Anwendung \([\frac rR\leqq \frac14,\,m\geqq 6]\) die Näherung völlig ausreicht. Es folgt eine Diskussion der Formel für \(G\) und eine Berechnung des numerischen Wertes von \(G\) für verschiedene \(m\). Für ein Kabel mit einem Drahte nimmt \(G\) den Wert an: \[ G_1 =\frac{1}{r[\log R-\log r]}\,, \] und für \(m =\infty\) wird \[ G=\text{1,393}\;G_1. \] .