On inner limiting sets of points in a linear interval. (Q1500045)

Die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß\ eine abzählbare Menge eine ``innere Grenzmenge'' (\textit{W. H. Young}, Zur Lehre der nicht abgeschlossenen Punktmengen, Leipz. Ber. 1903, 287-293; F. d. M. 34, 77, 1903, JFM 34.0077.01) ist, besteht darin, daß\ sie keine in sich dichte Teilmenge enthalten darf. Die allgemeinste nicht abzählbare innere Grenzmenge besteht aus einer in sich dichten Menge, von der jeder Punkt den Mächtigkeitsgrad \({\mathfrak c}\) hat, und aus einer abzählbaren, keinen in sich dichten Bestandteil enthaltenden Menge, von der jeder Punkt den Mächtigkeitsgrad \({\mathfrak a}\) oder 0 hat. Dabei versteht man nach \textit{G. Cantor} unter ``Mächtigkeitsgrad'' eines Punktes einer Menge die Mächtigkeit der in einer beliebig kleinen Umgebung des Punktes liegenden Teilmenge.