Beweis des Desarguesschen Satzes aus dem Pascalschen. (Q1500204)

Seitdem \textit{H. Wiener} (Deutsche Math.-Ver. \textit{1}, 47; F. d. M. \textit{24}, 500, 1892, JFM 24.0500.02), darauf hingewiesen hatte, daß\ der \textit{Desargues}sche Satz über zwei perspektive Dreiecke und der \textit{Pascal}sche Satz für das Geradenpaar genügen, um ohne Stetigkeitsbetrachtungen die projektive Geometrie zu entwickeln, sind die Voraussetzungen für die Gültigkeit dieser Sätze vielfach erörtert worden. Der \textit{Desargues}sche Satz läßt sich mit ausschließlicher Benutzung der ebenen und räumlichen Axiome der Anordnung und Verknüpfung beweisen. \textit{D. Hilbert} hat gezeigt (Grundlagen der Geometrie \S\ 23), daß\ der Satz nicht mehr beweisbar ist, wenn man von den Axiomen lediglich die räumlichen Verknüpfungsaxiome und das Kongruenzaxiom für Dreiecke fallen läßt, und ferner (\S\ 22), daß\ man ihn mit Hülfe einer Streckenrechnung aus dem \textit{Pascal}schen Satze folgern kann. Die hierzu nötige Streckenrechnung setzt aber die Kongruenzaxiome voraus. Man hielt daher neben den Anordnungs- und Verknüpfungsaxiomen bisher \textit{beide} Sätze für unentbehrliche Bausteine der projektiven Geometrie. Die vorliegende Arbeit bringt nun einen wichtigen Fortschritt durch den Nachweis, daß\ der \textit{Desargues}sche Satz lediglich unter Voraussetzung der ebenen Verknüpfungsaxiome sich aus dem \textit{Pascal}schen Satze herleiten läßt. Der Grund dafür ist, daß\ die \textit{Desargues}sche Konfiguration durch dreimalige Verwendung einer \textit{Pascal}schen Konfiguration hergestellt werden kann. Verf. führt den Beweis zunächst für den affinspezialisierten Fall (den \textit{Hilbert} ausschließlich benutzt) und dann für den allgemeinen Fall, um zu zeigen, wodurch die im ersten Fall notwendigen Hülfslinien begründet sind. Da aus dem affin-spezialisierten \textit{Desargues}schen Satz die Existenz sämtlicher ebenen Zentralkollineationen folgt (vgl. \textit{Hessenberg}, Arch. der Math. u. Phys. (3) \textit{6}, 123; F. d. M. \textit{34}, 531, 1903, JFM 34.0531.02), so genügt allein der \textit{Pascal}sche Satz in \textit{Hilbert}s Formulierungzum Beweis aller ebenen Schnittpunktsätze.