Über die Ausartungen der \textit{Schröter}schen Konstruktion der ebenen Kurven dritter Ordnung. (Q1500224)

Die \textit{Schröter}sche sukzessive lineare Konstruktion der Punkte einer ebenen \(C_3\) aus drei konjugierten Punktepaaren kann bei besonderer Lage der drei Paare, wie \textit{A. Hurwitz} (J. für Math. \textit{107}, 141; F. d. M. \textit{22}, 657, 1890, JFM 22.0657.03) gezeigt hat, dadurch ein Ende erreichen, daß\ schließlich die weitere Fortsetzung der Konstruktion keine neuen Punktepaare mehr ergibt und der Prozeß\ also nur eine endliche Anzahl verschiedener Punktepaare liefert. Verf. untersucht nun die besondere geometrische Lage auf der \(C_3\) derjenigen Punktepaare, die, als Ausgangspunktepaare gewählt, den Prozeß\ zu einem endlichen machen, und zeigt auf anschauliche Weise, warum bei solchen Punkten das Konstruktionsverfahren sich schließen muß. Ferner wird noch der folgende Ausnahmefall hinzugefügt. Aus einem der drei Ausgangspaare \((a, a'), (b, b'), (c, c')\), etwa \((a, a')\), und dem unendlich benachbarten ergibt die Konstruktion als neues Paar den dritten Schnittpunkt \(d\) der Geraden \(aa'\) mit der \(C_3\) und als konjugierten den gemeinsamen Tangentialpunkt von \(a\) und \(a'\). Verf. zeigt, daß\ dieses Paar \((d, d')\) sich als ein ``abgeleitetes Paar dritter Ordnung'' der drei Ausgangspaare -- nach der Bezeichnung von \textit{A. Hurwitz} -- betrachten läßt. Faßt man nun unter dem Namen ``Unterordnungssystem eines Punktes \(p\)'' zusammen: den Punkt \(p\), den Tangentialpunkt \(p_1\) von \(p\), den Tangentialpunkt \(p_2\) von \(p_1\) usw. und alle mit Hülfe von \(p, p_1, p_2, \dots\) auf \textit{Schröter}sche Weise konstruierbaren Punkte, so gilt: Das \textit{Schröter}sche Verfahren liefert nur eine diskrete Mannigfaltigkeit von Punkten der Kurve, wenn \(a, b, c\) dem Unterordnungssystem eines einzigen, im übrigen beliebigen Kurvenpunktes \(p\) angehören.