Lehrbuch der analytischen Geometrie. Erster Band. Geometrie in den Grundgebilden erster Stufe und in der Ebene. (Q1500276)

In seinem Erlanger Programm (Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen) und ausführlicher in seinen autographierten Vorlesungen über höhere Geometrie (Leipzig 1892/1893) hatte \textit{F. Klein} den grundlegenden Gedanken durchgeführt, daß jede Geometrie als Invariantentheorie einer gewissen Gruppe von Operationen, ausgeübt auf die Elemente des Raumes, anzusehen ist. Dabei ist die Art des zugrunde gelegten Raumelements für den Charakter der geometrischen Betrachtungen nur von sekundärer Bedeutung. Für die Behandlung des gewöhnlich in den Lehrbüchern dargestellten Stoffes ergibt sich daher folgende naturgemäße Systematik: 1. Untersuchung der allgemeinen projektiven Gruppe. 2. Ihre affine Untergruppe. 3. Die Gruppe der Bewegungen. Bleiben bei der ersten nur die visuellen Eigenschaften (Inzidenz von zwei verschiedenen Elementen) erhalten, so treten in der zweiten Gruppe die Parallelität, in der Gruppe der Bewegungen die Orthogonalität als invariante Eigenschaften hinzu. Unsere bisherigen Lehrbücher der analytischen Geometrie gehen auf diese naturgemäße Einteilung gar nicht oder nur anhangsweise ein, während sonst ihr Inhalt in buntem Wechsel Ergebnisse der projektiven, affinen und äquiformen (so bezeichnen die Verf. die Geometrie der Bewegungsgruppe) Geometrie anfweist. Wenn auch diese Zurückhaltung die Lehrbücher in der Adoptierung eines systematisch zwar vortrefflichen Einteilungsprinzips, das aber die größten pädagogischen Schwierigkeiten bietet, wohl zu verstehen ist, so ist es mit um so größerer Freude zu begrüßen, wenn die Verf. des vorliegenden Werks diese Schwierigkeiten nicht scheuten, sondern die natürliche Systematik konsequent durchgeführt und damit einen neuen Typus in der Lehrbücherliteratur der analytischen Geometrie geschaffen haben. Ihr Ziel war, ``eine völlig elementar einsetzende und durchweg leicht faßliche Darstellung der Geometrie zu bieten, die dennoch dem Leser bald einen umfassenden Überblick verschaffen sollte. Wir wünschten, den Stoff systematisch so zu ordnen, daß jeder Gegenstand einen ihm aus erkennbarem Grande zukommenden Platz fände, jeder Fortschritt der Untersuchung sich mit erkennbarer Notwendigkeit vollzöge.'' Daß sie dieses Ziel so vortrefflich erreichen, ist nicht nur der zweckgemäßen Einteilung, sondern auch der äußerst klaren und ansprechenden Darstellung zu verdanken. Allerdings haben auch die Verf. die pädagogischen Schwierigkeiten, die bisher von dem eingeschlagenen Weg abschreckten, nicht ganz überwinden können: einmal mußte gleich am Anfang der systematische Gang verlassen werden und die Einführung der geometrischen Elemente (Punkt, Gerade, Ebene) sowie ihrer elementaren Lagebeziehungen (Inzidenz, Parallelität, Orthogonalität) rein anschaulich begründet werden. Trotzdem wird von dem in geometrischen Betrachtungen nicht Geübten in der Einleitung, wo Wesen, Grundbegriffe, Einteilung der Geometrie klargelegt werden, immer noch ein nicht geringes Maß von Abstraktionsfähigkeit verlangt. Auch im ersten Abschnitt ist auf die systematische Gedankenbildung verzichtet worden; da die projektive Behandlungsweise vorangestellt wnrde, der abstrakte Begriff des \textit{von Staudt}schen Wurfs dagegen vermieden werden sollte, kommen zuerst doch noch metrische Verhältnisse hinein, und erst später folgt daraus die Invarianz des Doppelverhältnisses. Die Disposition des Buches gliedert sich nach den Grundgebilden der verschiedenen Stufen; der vorliegende erste Band enthält die Grundgebilde erster Stufe und die Grundgebilde zweiter Stufe in der Ebene. Der zweite abschließende Band will dann die Geometrie im Bündel und die Geometrie im Raume umfassen. Innerhalb dieser großen Abschnitte ist eine Scheidung in projektive, affine und äquiforme Eigenschaften vorgenommen. Eine eingehende Darstellung des reichen Inhalts würde den zu Gebote stehenden Raum weit überschreiten; wir müssen uns daher auf die Wiedergabe der im Inhaltsverzeichnis gegebenen Disposition beschränken: Einleitung, \textit{I. Abschnitt.} Geometrie in den Grundgebilden erster Stufe, 1. Elemente der projektiven und affinen Geometrie in der eigentlichen Punktreihe. 2. Quadratische Gleichungen: Das Punktepaar und seine Involution. 3. Projektive und äquiforme Geometrie im eigentlichen Büschel. \textit{II. Abschnitt.} Geometrie in den Grundgebilden zweiter Stufe. A. Geometrie in der Ebene, 1. Elemente der \textit{projektiven} Geometrie in der Ebene: Koordinaten. 2. Fortsetzung: Dualitätsgesetz; projektive Sätze über Punkte und Gerade. 3. Fortsetzung: Die kollineare oder projektive und die korrelative oder reziproke Transformation der Ebene. 4. Elemente der \textit{affinen} Geometrie in der Ebene. 5. Elemente der äquiformen Geometrie in der Ebene. 6. Allgemeine \textit{projektive} Eigenschaften der Kurven zweiter Ordnung und zweiter Klasse. 7. Projektive Einteilung der Kegelschnitte. 8. Polarität in Bezug auf einen Kegelschnitt. 9. Projektive Eigenschaften des Kegelschnittbüschels und der Kegelschnittschar. 10. \textit{Affine} Klassifikation und parallelmetrische Eigenschaften der Kegelschnitte als Punkt- und als Strahlenkurven. 11. Kegelschnittbüschel und Kegelschnittscharen in der affinen Geometrie. 12. Die \textit{orthogonalmetrischen} Spezialfälle der Kegelschnitte. 13. Die Hauptachsen der Kegelschnitte. 14. Brennpunkte und Fokaleigenschaften der Kegelschnitte. 15. Kegelschnittbüschel und Kegelschnittscharen in der äquiformen Geometrie. \textit{Anhang:} Determinanten. Das Werk wird ohne Zweifel eine bedeutsame Stellung im Unterricht der höheren Geometrie einnehmen.