Isogonalkurven, Äquitangentialkurven und komplexe Zahlen. (Q1500308)

Die Arbeit enthält eine ausführliche Darstellung von Untersuchungen, über die der Verf. auf dem Heidelberger Kongreß berichtet hat (Referat vorstehend (JFM 36.0619.01)), und knüpft an zwei ältere Arbeiten an (F. d. M. 29, 491, 1898 und 35, 673, 1904, JFM 29.0491.03). Jede Schar von \(\infty^1\) Kurven der Ebene ordnet jedem Punkte ein Linienelement zu, und es gibt eine bestimmte Berührungstransformation, die jeden Punkt in die Gerade des zugeordneten Linienelements überführt; umgekehrt ist durch diese Berührungstransformation die Kurvenschar vollständig bestimmt. Aus der Kurvenschar kann man auf zwei Arten \(\infty^1\) neue Kurvenscharen ableiten: Dreht man die Gerade jedes ihrer Linienelemente um einen konstanten Winkel \(\alpha\) um den Punkt des Linienelements, so erhält man \(\infty^1\) Isogonalkurven, die die Kurven der ersten Schar unter dem Winkel \(\alpha\) schneiden. Verschiebt man den Punkt jedes Linienelements um eine konstante Strecke \(a\) auf der Geraden des Linienelements, so erhält man \(\infty^1\) ``Äquitangentialkurven'', die mit jeder Kurve der ursprünglichen Schar eine Tangente von der Länge \(a\) gemein haben. Zu jeder so erhaltenen Kurvenschar gehört eine Berührungstransformation, deren Eigenschaften der Verf. näher bespricht. Jede Schar nun von \(\infty^2\) Kurven, die aus den sämtlichen Isogonalkurven (Äquitangentialkurven) einer Schar von \(\infty^1\) Kurven besteht, ist dadurch charakterisiert, daß je drei Kurven der Schar ein Dreieck von der Winkelsumme \(\pi\) bilden (daß die gemeinsamen Tangenten je dreier Kurven der Schar ein Dreieck bilden, dessen Seitensumme Null ist). Ferner gehört zu jeder Schar von \(\infty^2\) Isogonalkurven (Äquitangentialkurven) eine zweite Kurvenschar derselben Art, und zwar beruht die Beziehung zwischen beiden Scharen auf Gegenseitigkeit. Das wird erst synthetisch und dann analytisch bewiesen. Neben die Gruppe aller konformen Punkttransformationen, bei der offenbar jede Schar von \(\infty^2\) Isogonalkurven eine solche Schar bleibt, tritt nun eine Gruppe von Berührungstransformationen, die ``äquilonge Gruppe'', bei der jede Schar von \(\infty^2\) Äquitangentialkurven eine solche Schar bleibt. Diese Gruppe führt jede Gerade in eine Gerade über und jede Strecke einer Geraden in eine gleich lange Strecke. Bei geeigneter Wahl der Linienkoordinaten \(u, v\) wird sie, wie der Verf. zeigt, durch eine Gleichung: \(u'+jv'=\varphi(u+jv)\) dargestellt, wo \(j\) eine komplexe Einheit ist, deren Quadrat verschwindet. Die Analogie mit der konformen Gruppe tritt hier besonders deutlich hervor. Übrigens ist die äquilonge Gruppe nur ein besonderer, allerdings der interessanteste Fall der Gruppe von äquidistanten Berührungstransformationen, die \textit{Study} in einer etwas später veröffentlichten Arbeit (Referat in Abschnitt IX, Kap. 5 B (JFM 36.0735.01)) betrachtet hat.