Ebene Kurvennetze ohne Umwege. (Q1500309)

Zwei Scharen von je \(\infty^1\) Kurven der Ebene nennt der Verf. ein Kurvennetz, wenn durch jeden Punkt von allgemeiner Lage je eine Kurve jeder Schar geht. Er legt nun den Bogenlängen jeder Schar einen bestimmten Sinn bei und nennt das Netz ein solches ohne Umwege, wenn alle die unendlich vielen Wege, die man zwischen zwei beliebigen Punkten \(P\) und \(Q\) aus Kurvenstücken des Netzes zusammensetzen kann, gleiche Bogenlänge haben. Das allgemeinste Netz dieser Art wird, wie der Verf. auf drei verschiedene Arten zeigt, durch eine Differentialgleichung von der Form: \[ (\varphi_x dx+\varphi_y dy)^2=dx^2+dy^2 \] definiert. Außerdem beweist er, daß die Kurvennetze ohne Umwege im Infinitesimalen durch folgende Eigenschaft charakterisiert werden: Ist \(PP'RQ'\) ein unendlich kleines Viereck, und gehören die Seiten \(PP',Q'R\) Kurven der einen Schar, die Seiten \(PQ',P'R\) Kurven der andern Schar an, so ist der Schnittpunkt der ersten Seiten ebenso weit von \(P\) entfernt wie der Schnittpunkt der zweiten Seiten.