Binäranalyse zur Geometrie des Dreiecks. (Q1500335)

Seit einer Reihe von Jahren verfolgt der Verf. das Ziel, die binäre Invariantentheorie auf solche Gebiete der Geometrie der Ebene, des Raumes usf. (nebst Anwendungen auf Mechanik und Physik) zu übertragen, die ihrer Natur nach eine solche Behandlung überhaupt zulassen. Trotzdem auch die neuere Dreiecksgeometrie hierher gehört, so waren bisher doch nur einzelne Ansätze in dieser Richtung zu verzeichnen gewesen (s. vor allem Study, F. d. M. 27, 369, 1896, JFM 27.0369.01; 28, 518, 1897, JFM 28.0518.06); es ist daher um so mehr anzuerkennen, daß der Verf. nunmehr dieser Disziplin in dem fraglichen Sinne ein systematisches Studium gewidmet hat; freilich ist dabei nicht außer acht zu lassen, daß von diesem ``binäranalytischen'' Gesichtspunkt aus die überaus mannigfaltigen Sätze über die merkwürdigen, mit dem Dreieck verknüpften Figuren nur in einer gewissen partikularen Beleuchtung erscheinen. Zunächst werden Punkte und Gerade, Kurven zweiter und dritter Ordnung, resp. Klasse, sowie Kreise unter Zugrundelegung eines ``Normkreises'' durch ihre ``Binärbilder'' dargestellt, woran sich Beziehungen dieser Gebilde und ihre Polarentheorie anschließen. Das Dreieck \(\triangledown\) denke man sich in bekannter Weise durch eine kubische Form \(\varphi=\varphi_\xi^3\) einer binären Variable \(\xi\) gegeben, die auf seinem Umkreise \(C\) als ``Normkreise'' ausgebreitet ist; auf ihm sind dann die beiden imaginären ``Kreispunkte'' durch eine quadratische Form \(u=u_\xi^2\) repräsentiert. Eine lineare Transformation von \(\xi\) in eine neue Variable \(\xi'\) wird ausgeübt, wenn die Ebene einer Ähnlichkeitstransformation unterworfen wird, wobei das Dreieck \(\triangle\) mit seinem Umkreise \(C\) in ein Dreieck \(\triangledown'\) mit seinem Umkreise \(C'\), und die Formen \(\varphi,u\) in Formen \(\varphi',u'\) der neuen Variable \(\xi'\) auf \(C'\) übergehen. Daraus folgt ohne weiteres, daß die gegenüber Ähnlichkeitstransformationen invarianten merkwürdigen Punkte und Geraden des Dreiecks auf dem Umkreise \(C\) quadratische Formen bestimmen, die binäre Simultankovarianten von \(\varphi\) und \(u\) sind. Das System dieser letzteren führt somit von selbst zu einer geeigneten Klassifikation jener Punkte und Geraden (und weiterhin auch höherer Gebilde). So repräsentiert z. B. \(u\) selbst das Zentrum von \(C\), und die \textit{Hessesche} Form \(\triangle\) von \(\varphi\) den \textit{Lemoine}schen Punkt des Dreiecks. Die zweite Überschiebung von \(u,\varphi\) liefert einen Punkt \(p\) des Umkreises \(C\), der bisher wenig beachtet worden ist, der aber im folgenden in zahlreichen Bedeutungen auftritt. Es zeigt sich nun vor allem, daß die bekanntesten merkwürdigen Punkte des Dreiecks im Systeme der drei Formen \(u,\triangle\) und \(p\) enthalten sind (auch die Dreiecksform \(\varphi\) selbst). Seinem Ansatze nach, der die Ähnlichkeitstransformationen der Ebene zugrunde legt, beschränkt sich der Verf. auf solche Sätze, in die nur Verhältnisse von Strecken eingehen; ferner auf rationale Gebilde, so daß die Dreiecksform \(\varphi\) nicht in ihre linearen Faktoren zerlegt wird. Die allgemeine Grundlage des Ganzen bildet nach \textit{Hesse}, \textit{Klein} und dem Ref. der ``Normkegelschnitt'' \(C\), auf dem eine binäre Variable \(\xi=\xi_1/\xi_2\) ausgebreitet ist; jedem Punkte \(a\) und jeder Geraden \(b\) der Ebene ist dadurch eine Quadrik zugeordnet; Punkt \(a\) und Gerade \(b\) sind inzident, wenn ihre Quadriken apolar sind, \([ab]=0\). Ist \(x\) der laufende Punkt der Geraden \(a\), so ist demnach \([a\, x]=0\) deren Gleichung; die Form \([a \,x]\) heißt das Binärbild der Geraden \(a\), und entsprechend für einen Punkt. Bedeutet ferner \(\mathfrak v\) eine ``Biquadrik'' (binäre biquadratische Form), so wird vermöge der Gleichung (I) \(x'=[{\mathfrak v} x]+cx\), wo \(c\) eine Konstante ist, dem Punkte \(x\) eine Gerade \(x'\) der Ebene zugewiesen, und zwar ist (I) eine Korrelation, nämlich die Polarität bezüglich einer gewissen Kurve zweiter Ordnung \(C_2\), deren Gleichung lautet: (II) \([{\mathfrak v} x^2]+c[x]=0\). Die vier Wurzelpunkte von \(\mathfrak v\) auf \(C\) sind die Schnittpunkte von \(C_2\) mit \(C\), die ``Normpunkte'' der \(C_2\). Ist dualistisch eine Kurve zweiter Klasse \(C^2\) vermöge der Formen \({\mathfrak v},c'\) gegeben, so lautet die Bedingung der Apolarität von \(C_2\) und \(C^2: (\text{III}) [{\mathfrak v}{\mathfrak v}']+3cc'=0\). Ist im besonderen \(c\), resp. \(c'\) gleich Null, so ist \(C_2\), resp. \(C^2\) apolar zum Normkegelschnitt \(C\). Sodann wird die unendlich ferne Gerade durch ihre Quadrik \(u\) festgelegt, das ist die Quadrik des Mittelpunktes von \(C\). Daraufhin läßt sich die binäre Bedingung des Parallelismus zweier Geraden aufstellen sowie die Quadrik des Mittelpunktes einer Strecke. Nunmehr wird für die Untersuchung des Dreiecks, wie schon oben erwähnt, der Normkegelschnitt als Normkreis \(C\) gewählt. Stellt \(u\) wieder den Mittelpunkt von \(C\) dar, \(\alpha\) einen Punkt von \(C\), so repräsentiert \((u,\alpha)\) den \(\alpha\) diametral gegenüberliegenden Punkt von \(C\). Um die binären Bilder an die übliche Darstellung durch kartesische Koordinaten \(x,y\) anzuschließen, sei \(x^2+y^2=r^2\) die Gleichung von \(C\), so setze man, für \(\varrho\) als einen Proportionalitätsfaktor: (IV) \(x+iy=\varrho a_0\), \(r=\varrho a_1\), \(x-iy=\varrho a_2\), so ist damit dem Punkte \(X(x,y)\) die Quadrik \(a_\xi^2=a_0\xi_1^2+2a_1\xi_1\xi_2+a_2\xi_2^2\) zugeordnet. Für einen reellen Punkt \(X\) sind \(a_0,a_2\) konjugiert komplex, \(a_1\) reell; die Quadrik heißt dann eine ``Realquadrik''. Liegt \(X\) im besondern auf \(C\), und ist seine Linearform \(\alpha_\xi=\alpha_1\xi_1+\alpha_2\xi_2\), so sind wiederum für einen reellen Punkt \(X\) \(\alpha_1,\alpha_2\) konjugiert komplex; \(\alpha_\xi\) heißt dann eine ``Reallineare''. Darauf wird eine einfache Darstellung der Potenzlinie (Chordale) eines Kreises \(\mathfrak K\) mit dem Normalkreise \(C\), der ``Normchordale'' von \(\mathfrak K\), gegeben, und hieraus wird die Bedingung der Orthogonalität von \(\mathfrak K\) und \(C\) abgeleitet, sowie die andere, daß \(\mathfrak K\) ein Punktkreis ist, endlich wird die Quadrik für den Potenzpunkt dreier Kreise aufgestellt. Liegt ferner ein Klassenkegelschnitt \(C^2\) vor, so wird sein ``Direktorkreis'' binär bestimmt, das ist der Ort des Punktes, von dem sich an \(C^2\) zwei zueinander senkrechte Tangenten legen lassen. Nunmehr werden die Dreiecksform \(\varphi\) und ihre Polaren in Betracht gezogen. Sind \(\alpha,\beta,\gamma\) die Linearformen für die Ecken des Dreiecks \(\triangledown\), so heißt eben die Kubik \(\varphi=\alpha\beta\gamma\) die Dreiecksform, das Dreieck erscheint als Kurve dritter Klasse \(\triangledown^3\). Dualistisch wird die Kurve dritter Ordnung \(\triangledown_3\) eingeführt, die aus den Seiten des Dreiecks \(\triangledown\) besteht. Die Bildung der ersten und zweiten Polare eines Punktes, resp. einer Geraden bezüglich der Kurve \(\triangledown_3\), resp. \(\triangledown^3\) liefert mit Leichtigkeit eine Fülle interessanter Dreieckssätze, insbesondere den schon eingangs erwähnten über die Darstellung des \textit{Lemoine}schen Punktes (resp. der \textit{Lemoine}schen Geraden) durch die quadratische Kovariante \(\triangle\) von \(\varphi\). Sodann wird systematisch das volle System der Formen \(u,\varphi\) zugrunde gelegt, nebst den zahlreichen zwischen den Bildungen des Systems bestehenden Identitäten (Syzygien). Die erste lineare Kovariante \(p=[\varphi u]\) von \(\varphi\) und \(u\) liefert, den (ebenfalls schon erwähnten) merkwürdigen Punkt \(p\) des Dreiecks. Geometrisch entsteht derselbe z. B. so: Die Tangenten \(\alpha,\beta,\gamma\) des Normkreises in den Ecken des Dreiecks \(\triangledown\) schneiden sich in den Ecken \(a,b,c\) eines Dreiecks \(D\). Der zweite Schnittpunkt der Geraden \(\alpha a\) auf dem Normkreise \(C\) sei \(\alpha'\), entsprechend \(beta'\) und \(\gamma'\). Legt man nun den ``\textit{Brocard}schen Durchmesser'' \(\vartheta\) des Dreiecks \(\triangledown\), das ist die Gerade \(\vartheta\), die den \textit{Lemoineschen} Punkt \(\triangle\) mit dem Mittelpunkt \(u\) des Normkreises \(C\) verbindet, wo \(\vartheta\) durch \((u,\triangle)\) dargestellt ist, so schneidet dieser Durchmesser \(\vartheta\) die Seiten des Dreiecks \(\triangledown\) in einem geradlinigen Dreiecke, das zum Dreieck \(\alpha'\beta'\gamma'\) perspektivisch ist mit dem Perspektivitätszentrum \(p\). An diesen Punkt \(p\) schließen sich noch drei andere \(q,r,s\) vermöge der Linearformen \([u p],[p\triangle],[\vartheta p]\). Weiterhin werden gewisse Kurven dritter Ordnung und solche dritter Klasse untersucht, die mit dem Dreiecke \(\triangledown\) in dem angegebenen Sinne invariant verknüpft sind. Durch Polarenbildung gelangt man unter anderem zu der ``\textit{Brocard}schen Ellipse'' und der ``\textit{Brocard}schen Geraden'' des Dreiecks, ferner zum ``\textit{Brocard}schen Kreis'' und den beiden ``\textit{Brocard}schen Punkten''. Wir erwähnen noch den Schwerpunkt und Höhenschnittpunkt des Dreiecks, die \textit{Euler}sche Gerade, den \textit{Steiner}schen und \textit{Tarry}schen Punkt, die \textit{Kiepert}sche Hyperbel, sowie gewisse Kurven zweiter Ordnung oder Klasse, die dem Dreieck ein- oder umbeschrieben sind. Diese Hinweise mögen genügen, um die Dreiecksgeometer zum Studium der inhaltreichen Abhandlung anzuregen.