Über die Beziehungen zwischen Kegelschnitten und die Theorie des Imaginären. (Q1500351)

Nähere Ausführung der vom Verf. früher (Das Imaginäre in der Geometrie der konfokalen Flächen zweiter Ordnung. Münch. Ber. 34, 447-483; F. d. M. 35, 639, 1904, JFM 35.0639.01) entwickelten Resultate für Kegelschnitte. Jede Minimalebene des Raumes wird dadurch reell repräsentiert, daß man ihr einen \textit{Speer} zuordnet, nämlich eine bestimmte Richtung derjenigen reellen Geraden, die sie mit ihrer konjugiert imaginären Minimalebene gemeinsam hat. Dadurch entsprechen den \(\infty^2\) Minimalebenen, die allen Flächen eines konfokalen Systems \(\Sigma\) umschrieben sind, umkehrbar eindeutig \(\infty\) Speere, die mit den orientierten reellen Erzengenden der \(\infty^1\) in \(\Sigma\) enthaltenen einschaligen Hyperboloide identisch sind. Für das Speersystem gilt nun eine durch elliptische Funktionen vermittelte Parameterdarstellung. Andererseits wird ein komplexer Punkt \(\varPi(x'+ix'', y'+iy'', z'+iz'')\) reell repräsentiert durch die reellen Punkte \(A'(x'y'z'), A''(x''y''z'')\). Der Kreis \(k\), dessen Ebene in \(A'\) senkrecht auf dem Pfeile \(A' A''\) des Punktes \(\varPi\) liegt, werde mit einem passenden Umlaufsinn versehen. Die Erzeugenden der \(\infty^1\) konfokalen einschaligen Rotationshyperboloide, deren Fokalkreis \(k\) ist, bilden dann, ebenfalls mit passendem Umlaufsinn, einen \textit{Zyklus} von \(\infty^2\) Speeren, dessen \textit{Äquator} \(k\) ist. Dieser Zyklus ist der reelle Repräsentant der \(\infty^2\) Minimalebenen durch den Punkt \(\varPi\). Aus diesen Feststellungen ergibt sich fast unmittelbar eine große Reihe von teils schon bekannten, teils neuen Sätzen über Kegelschnitte, deren Entwicklung den Rahmen des Referats überschreiten würde. Doch sei bemerkt, um die Richtung der Untersuchung zu kennzeichnen, daß das \textit{Poncelet}sche Schließungsproblem durch die entwickelte Methode naturgemäß erledigt wird.