Zur Bestimmung aller Raumkurven, für welche zwischen Krümmung, Torsion und Bogenlänge eine gegebene Gleichung besteht. (Q1500403)

Es seien \(\kappa,\tau,s\) Krümmung, Torsion und Bogenlänge einer Raumkurve \((x, y, z)\) und \(K, T, S\) dieselben Größen für eine zweite Raumkurve \((X, Y, Z)\), die der ersten durch parallele Tangenten zugeordnet ist; dann bestehen die Relationen: \[ \kappa ds=KdS,\quad \tau ds=TdS,\quad \kappa:\tau=K:T. \] Ist daher die Raumkurve \(X=X(u)\), \(Y=Y(u)\), \(Z=Z(u)\) und eine Relation (natürliche Gleichung) \(f(\kappa,\tau,s)=0\) gegeben, so berechne man \(K=K(u)\), \(T=T(u)\), \(S=S(u)\), bestimme aus den beiden vorstehenden Gleichungen \(\kappa=\kappa(s,u)\), \(\tau=\tau(s,u)\) und danach \(s=s(u)\) aus \(\kappa ds=KdS\); dann werden \(x,y,z\) durch Quadraturen gefunden: \[ x=\int \frac{X'}{S'}\;s'du,\dots, \] wo \(X'=\frac{dX}{du},\dots\). Spezielle Anwendungungen zeigen die Brauchbarkeit dieser Formeln.