Über Trägheitsmomente und Momente beliebiger Ordnung in Räumen beliebig hoher Stufe. (Q1500648)

\textit{Schoute} (JFM 36.0758.01) beweist folgenden Satz: Das Trägheitsmoment \(M\) eines Simplex \(S(n+1)\) des Raumes \(R_n\) von \(n\) Dimensionen in bezug auf einen beliebigen Raum \(R_{n-1}\) dieses \(R_n\) wird durch das Volumen \(V\) des Simplex und die Abstände \(y_k(k=1,2,\dots,n+1)\) der Ecken des Simplex von diesem Raume durch die Formel ausgedrückt: \[ M=\frac{V}{2(n+2)_2}\left[\sum y_k^2+\left(\sum y_k\right)^2\right]. \] Da der Beweis dieser Formel durch direkte Berechnung \textit{Schoute} zu mühsam vorkam, hat er die Herleitung vermittelst dreier Hülfssätze bewirkt. \textit{Berry} (JFM 36.0758.02) führt in der zweiten Note diese direkte Berechnung, die er ziemlich einfach findet, mit Hülfe homogener Koordinaten aus. Die betreffende Formel für \(n=3\) befindet sich schon bei \textit{Routh} (1868), nicht erst, wie \textit{Schoute} glaubte, bei \textit{G. Cesàro} (1900). \textit{Mehmke} hat die Formel von \textit{Schoute} auf anderem Wege in Math. Ann. 23, 143-151 gefunden (F. d. M. 16, 791, 1884, JFM 16.0791.02). Gegenwärtig zeigt er, wie man auf demselben Wege Momente von höherer Ordnung \(\nu\) als der zweiten finden kann. Die Ersetzbarkeit des Simplex durch ein System von \(n+1\) oder \(n\) einzelnen Massenpunkten, die a. a. O. gelehrt war, scheint für \(\nu>2\) weniger leicht ausführbar zu sein.