Sugl' integrali primi dell' equazioni del moto d'un corpo pesante intorno a un punto fisso. (Q1500710)

Die Untersuchung der Erstintegrale \(f(p,q,r,a,b,c)=\text{konst.}\) (wo \(p,q,r\) die Komponenten der Rotation in bezug auf die im Körper festen Achsen sind, ferner \(a, b, c\) die Kosinus der Winkel dieser Achsen mit der Vertikale) für das fragliche Problem hängt von einer linearen Differentialgleichung erster Ordnung mit sechs unabhängigen Variabeln ab, deren Integration unübersteigliche Schwierigkeiten bietet. Um etwas vorwärts zu kommen, muß man daher Hypothesen zur Vereinfachung der Aufgabe bezüglich der Form von \(f\) einführen. \textit{R. Liouville} hat in Acta Math. 20, (F. d. M. 28, 663, 1897, JFM 28.0663.01) einige Untersuchungen über die Bestimmung der Fälle veröffentlicht, in denen ein viertes algebraisches Erstintegral existiert. Indem er zufolge eines \textit{Poincaré}schen Satzes annimmt, daß das Trägheitsellipsoid ein Rotationsellipsoid ist, findet er, daß das in Rede stehende Integral existiert, wenn der Schwerpunkt in der Äquatorialebene liegt und \(A=B=2C/n\) ist (\(n\) eine ganze Zahl), und zwar nur in diesen Fällen. Doch ist ein solches Integral außer für \(n=1\) und \(n=2\) noch nicht gefunden worden. \textit{Burgatti}s Untersuchung ist in ihren Zielen von der \textit{Liouville}schen nicht sehr verschieden. Einerseits ist sie jedoch spezieller, insofern nur Integrale betrachtet werden, die nicht alle sechs Argumente \(p, q, r, a, b, c\) enthalten; andererseits allgemeiner, weil die Betrachtung nicht auf algebraische Integrale beschränkt wird, sondern sich auf beliebige Integrale erstreckt, und weil die Lage des Schwerpunkts und die Konstanten \(A,B,C\) des Trägheitsellipsoids willkürlich bleiben. Zwar hat diese Untersuchung nicht zur Auffindung neuer integrabler Fälle geführt; doch hat \textit{Burgatti} seine Veröffentlichung gleichwohl für nützlich erachtet. Erstens umfaßt sie in einer einheitlichen, systematischen und der Eleganz nicht ermangelnden Analyse die bis jetzt bekannten Fälle vollständiger Integration. Sodann aber sind unter allen Erstintegralen diejenigen, welche höchstens von fünf der Elemente \(p, q, r, a, b, c\) abhängen, nach den algebraischen die einzigen, welche ein Mittel bieten, den bedeutendsten Schwierigkeiten zu entgehen, die der allgemeinen Untersuchung anhaften.