Sulle equazioni differenziali canoniche del moto di un sistema di vortici elementari, rettilinei e paralleli, in un fluido incompressibile indefinito. (Q1500758)

Die Bewegung von \(n\) geradlinigen elementaren Wirbeln, die zu einer Ebene senkrecht sind, hängt bekanntlich von der Integration des \textit{Hamilton}schen Systems ab: \[ \begin{aligned} (I)\quad \frac{dx_i}{dt}&=\frac{\partial P}{\partial p_i}\,,\quad \frac{dp_i}{dt}=-\frac{\partial P}{\partial x_i},\quad (i,k=1,2,\dots,n),\\ P&=-\frac{1}{2\pi}\sum_{i,k}m_im_k\log\left[\left(\frac{x_i}{m_i}-\frac{x_k}{m_k}\right)^2+(p_i-p_k)^2\right],\end{aligned} \] wo \(m_i\) die Intensität des Wirbels ist, dessen Spur auf der \((x,y)\)-Ebene die kartesischen Koordinaten \(x_i/m_i\) und \(p_i\) hat. Beachtet man, daß die Funktionen \(\varrho_{ik}\) in der eckigen Klammer bei \(P\) im \textit{Lie}schen Sinne eine Gruppe bilden, so erkennt man, daß das System, (I) einer besonderen Klasse \textit{Hamilton}scher Systeme angehört, nämlich derjenigen mit \(2n\) konjugierten Variabeln, bei denen die charakteristische Funktion \(P\) von nur \(q(<n)\) Funktionen abhängt, die eine Gruppe bilden. Unter Benutzung dieser Bemerkung wird aus dem System ein System in den Variabeln \(\varrho_{ik}\) abgeleitet, das zwar nicht, wie (I), ein \textit{Hamilton}sches System ist, aber sich bei der Diskussion derjenigen besonderen Fälle von Bewegungen von \(n\) Wirbeln als nützlich erweist, bei denen die aus der Theorie bekannten Integrale die Integration der entsprechenden Systeme auf Quadraturen zurückführen. Vermittelst jenes Differentialsystems wird im dritten Abschnitte der Abhandlung die Bewegung von vier Wirbeln bestimmt, die zu je zweien bezüglich eines Punktes symmetrisch sind, sobald ihr Trägheitsmoment in bezug auf denselben Punkt Null ist.