Sulle funzioni di \textit{Green} d'ordine \(m\). (Q1500813)

In der Arbeit werden zunächst (Kap. I) einige allgemeine Formeln aufgestellt, die Verallgemeinerungen der bekannten \textit{Green}schen Formel sind, insbesondere die Formel: \[ (1)\quad \int_S(\varDelta_{2r-2}u \varDelta_{2s}v-\varDelta_{2r}u \varDelta_{2s-2}v)dS+\int_\sigma\left(\varDelta_{2r-2}u\,\frac{d\varDelta_{2s-2}v}{dn}-\varDelta_{2s-2}v\,\frac{d\varDelta_{2r-2}u}{dn}\right)d\sigma=0. \] Darin ist das erste Integral über ein endliches Volumen \(S\), das zweite über dessen Oberfläche \(\sigma\) zu erstrecken; \(n\) ist die innere Normale von \(\sigma\), \(\varDelta_2\) bezeichnet den bekannten \textit{Laplace}schen Differentialausdruck, während \(\varDelta_4=\varDelta_2\varDelta_2\) ist etc. Aus (1) werden andere Formeln abgeleitet, indem der Reihe nach \(r=m\), \(s=1\), \(r=m-1\), \(s=2,\dots,r=\frac{m}{2}+1\), \(s=\frac{m}{2}\) gesetzt wird und die entstehenden Gleichungen addiert werden, oder auch, indem die Reihe der zu addierenden Gleichungen bis \(r=1\), \(s=m\) fortgesetzt wird. So ergibt sich \[ (3)\quad \int_S(u\varDelta_{2m}v-v\varDelta_{2m}u)dS+\sum_{i=1}^m\int_\sigma\left(\varDelta_{2i-2}u\,\frac{d\varDelta_{2m-2i}v}{dn}-\varDelta_{2m-2i}v\,\frac{d\varDelta_{2i-2}u}{dn}\right)d\sigma=0. \] Setzt man in (3) \(v=r^{2m-3}\), wo \(r\) den Abstand des Punktes \(x,y,z\) vom Koordinatenanfang \(O\) bezeichnet, so gilt die Formel (3) ohne weiteres, falls \(O\) außerhalb \(S\) liegt. Liegt \(O\) in \(S\), so hat man \(O\) durch eine kleine Kugel aus dem Integrationsgebiet auszuschließen und erhält dann, wenn \(u_0\) der Wert von \(u\) in \(O\) ist: \[ \begin{aligned} (4)\quad & (2m-2)!4\pi u_0=-\int_S r^{2m-3}\varDelta_{2m}udS\\ & +\sum_{i=1}^m\int_\sigma\left(\varDelta_{2i-2}u\,\frac{d\varDelta_{2m-2i}r^{2m-3}}{dn}-\varDelta_{2m-2i}r^{2m-3}\,\frac{d\varDelta_{2i-2}u}{dn}\right)d\sigma,\end{aligned} \] während für zwei Variabeln die entsprechende Gleichung lautet: \[ \begin{aligned} (4_1)\quad & 2^{2m-2}[(m-1)!]^22\pi u_0=-\int_\sigma r^{2m-2}(\log\,r)\varDelta_{2m}u d\sigma\\ & +\sum_{i=1}^m \int_S \left[\varDelta_{2i-2}u\,\frac{d\varDelta_{2m-2i}(r^{2m-2}\log\,r)}{dn}-\varDelta_{2m-2i}(r^{2m-2}\log\,r)\frac{d\varDelta_{2i-2}u}{dn}\right]ds.\end{aligned} \] Weiter wird [Kap. II] in (7) an Stelle von \(r\) die \textit{Green}sche Funktion \(m\)-ter Ordnung gesetzt, d. h. die Funktion \[ (7)\quad G_m=r^{2m-3}-\Gamma_m, \] in der \(r\) den Abstand eines festen Punktes \(M\) von \(S\) von einem beweglichen Punkte \(x,y,z\) bezeichnet, während \(\Gamma_m\) innerhalb \(S\) der Gleichung \(\varDelta_{2m}\Gamma_m=0\) genügt, an der Grenzfläche \(\sigma\) aber den Bedingungen: \[ \frac{d^i\Gamma_m}{dn^i}=\frac{d^ir^{2m-3}}{dn^i}\;(i=0,1,\dots,m-1). \] Dann folgt: \[ \begin{aligned} (8)\quad & k\cdot u(M)=-\int_S G_m\varDelta_{2m}u dS+\sum_{i=1}^\mu \int_\sigma \left(\varDelta_{2i-2}u\,\frac{d\varDelta_{2m-2i}G_m}{dn}\right.\\ & \left.-\varDelta_{2m-2i}G_m\,\frac{d\varDelta_{2i-2}u}{dn}\right)d\sigma, k=(2m-2)!4\pi, \mu=\frac{m}{2}, \text{resp.}=\frac{m-1}{2};\end{aligned} \] in (8) ist also die Anzahl der Summanden nur die Hälfte von der in (4). Für zwei Veränderliche tritt \(r^{2m-2}\log\,r\) an Stelle von \(r^{2m-3}\), es wird \[ \text{also}\quad (7)\quad G_m=r^{2m-2}\log\,r-\Gamma_m, \] und mittels dieser Funktion ergibt sich eine zu (8) analoge Formel, die nur halb soviel Summanden wie \((4_1)\) enthält. Allgemein läßt sich übrigens leicht zeigen, daß \(G_m\) eine symmetrische Funktion ist, d. h. durch Vertauschung des festen Punktes \(M\) mit dem Punkte \(x,y,z\) sich nicht ändert. In Kap. III wird die Aufgabe behandelt, für das Innere eines Kreises die Funktion \(u\) zu bestimmen, für die \[ \varDelta_{2m}(u)=F(x,y) \] ist, während an der Kreisperipherie \[ u=\frac{du}{dn}=\cdots=\frac{d^{m-1}u}{dn^{m-1}}=0 \] ist. \(F\) ist dabei eine gegebene \(n\)-fach harmonische Funktion \[ F=\sum_{i=0}^{n-1}\varrho^{2i}f_i (\varrho^2=x^2+y^2). \] Es wird gezeigt, wie man aus der gegebenen Reihe für \(F\) eine Reihenentwicklung für \(u\) ableiten kann, und zwar zunächst für \(m=1\), sodann für beliebige \(m\). Aus dieser Reihenentwicklung einerseits, der Darstellung von \(u\) mittels der \textit{Green}schen Funktion andererseits folgt, wenn man noch \(F=1\) setzt, für das über das Innere des Kreises vom Radius \(R\) erstreckte Integral \[ \int_\sigma G_md\sigma\,\text{der Wert}\,\frac{\pi}{2m^2}(\varrho^2-R^2)^m, \] während für das analoge, über das Innere einer Kugel erstreckte Raumintegral \[ \int_SG_mdS=-\frac{2\pi}{m(4m^2-1)}(\varrho^2-R^2)^m \] wird. \(\varrho\) ist dabei die Entfernung des Poles von \(G_m\) vom Mittelpunkte. Waren diese Resultate abgeleitet, ohne daß die analytische Darstellung von \(G_m\) bekannt war, wird in Kap. IV \(G_m\) durch eine Reihe, resp. ein Integral dargestellt. Ist \(O\) der Mittelpunkt des Kreises \(R, M\) der Pol der \textit{Green}schen Funktion, \(P\) ein beliebiger Punkt im Innern des Kreises, \(OM=\varrho\), \(OP=\varrho_1\), \(MP=r\) und \[ r_1^2=r^2+\frac{1}{R^2}(R^2-\varrho^2)(R^2-\varrho_1^2), \] so hat die \textit{Green}sche Funktion \(m\)-ter Ordnung in \(P\) den Wert: \[ G_m=r^{2m-2}\log\,\frac{r}{r_1}-\sum_{i=1}^{m-1}\;\frac{1}{2i}(r^2-r_1^2)^ir^{2m-2-2i}=(-1)^mr^{2m-2}\int_i^{\frac{r_1}{r}}\;\frac{(v^2-1)^{m-1}dv}{v}, \] während für das Innere einer Kugel \[ \begin{aligned} G_m & =r^{2m-3}-r_1^{2m-3}+\sum_{i=1}^{m-1}\;\frac{(2m-3)(2m-5)\dots(2m-2i-1)}{i!2^i}\;r_1^{2m-3-2i}\\ & =(-1)^{m+1}\;\frac{1.3.5\dots(2m-3)}{(m-1)!2^{m-1}}\;r^{m-3}\int_1^{\frac{r_1}{r}}\;\frac{(v^2-1)^{m-1}}{v^2}dv\end{aligned} \] wird. Die Formeln werden auf ein \(n\)-dimensionales sphärisches Gebiet übertragen; dabei ergibt sich für \(G_m\) eine verschiedene Form, je nachdem \(m\) gerade oder ungerade ist. In Kap. V endlich werden die in Kap. IV gefundenen Ausdrücke benutzt, um eine obere Grenze für die Ableitungen von \(G_m\) zu ermitteln. Stellt \(D^iG_m\) irgendeine der \(i\)-ten partiellen Ableitungen von \(G_m\) dar, so wird für den Kreis \(R\): \[ \int_\sigma\left| D^i G_m\right| d\sigma<c_i R^{2m-i}\quad (i=1,2,\dots,2m-1), \] wobei das Integral über das ganze Innere des Kreises zu erstrecken ist. Die \(c_i\) ferner stellen positive, von \(R\) unabhängige Zahlen dar. Das gleiche Resultat gilt auch für eine Kugel. Als Folgerung ergibt sich daraus eine Formel für die Maximalwerte einer Funktion \(u\), die im Innern des Kreises oder der Kugel der Gleichung \[ \varDelta_{2m}u=F \] genügt, während an der Begrenzung \(u\) und seine \(m-1\) ersten normalen Ableitungen verschwinden.