Über quadratische Formen mit reellen Koeffizienten. (Q1500868)

Seien \(\pi, \nu\) die Anzahlen der positiven, bzw. negativen Quadrate, die in der kanonischen Darstellung \(x_1^2+\cdots+ x_\pi^2-x_{\pi-1}^2- \cdots- x_{\pi+\nu}^2\) einer reellen quadratischen Form \(f(x_1, \dots, x_n)\) auftreten und nach dem Trägheitsgesetz unabhängig sind von der Transformation auf die kanonische Gestalt. Die algebraische Deutung dieser beiden Anzahlinvarianten an den Koeffizienten von \(f\) ist einigermaßen schwerfällig. Der Verf. stellt ihr deshalb eine ``analytische'' gegenüber, die er der sehr bequemen analytischen Deutung des Falles \(\pi=n\), \(\nu=0\), bzw. \(\pi=0\), \(\nu=n\) durch den positiv-, bzw. negativ-definiten Charakter von \(f\) nachbildet; er deutet den ``Positivrang'' \(\pi\) als die Stufenzahl desjenigen möglichst hochstufigen ebenen Gebildes im \(x\)-Raume, längs dessen überall \(f>0\) ist (unter Ausschluß\ des Gleichheitszeichens), und analog den ``Negativrang'' \(\nu\), und gibt eine von der algebraischen independente Theorie. Insbesondere stellt er der bekannten Deutung der größten und kleinsten Wurzel der Gleichung \(|f-tF|=0\) (unter \(F\) eine positiv-definite Form verstanden) als Maximum, bzw. Minimum von \(\frac fF\) für alle reellen \((x_1, \dots, x_n)\) außer \((0, \dots, 0)\) eine ähnliche ``analytische'' Deutung auch der übrigen Wurzeln dieser Gleichung an die Seite, die einer Behandlung des Hauptachsenproblems der quadratischen Formen als einer Aufgabe der sukzessiven Maxima unter linearen Nebenbedingungen etwa gleichkommen würde.