Über Systeme von Formen, deren Funktionaldeterminante identisch verschwindet. (Q1500874)

Verschwindet die Funktionaldeterminante \(F= \left| \frac{\partial f_i}{\partial x_k} \right|\) von \(p\) Formen \(f_1, \dots, f_p\) \textit{gleichen} Grades \(n\) in \(p\) Variabeln \(x_1, \dots, x_p\) identisch, so besteht nach \textit{Jacobi} zwischen den Formen \(f_i\) eine identische Relation \(\omega=0\), wo \(\omega\) als eine ganze homogene Funktion der \(f_i\) angenommen werden darf. Darüber hinaus erheben sich weitere Fragen. Welche Beziehung muß\ eventuell zwischen \(p-1\) Formen \(f\) bestehen, damit sich zu ihnen eine \(p^{\text{te}}\) hinzubestimmen lasse, die von jenen abhängig ist? Ferner, lassen sich nicht die \(p\) Formen \(f\) vermöge einer linearen Substitution der Variabeln auf eine endliche Anzahl kanonischer Darstellungen bringen? Hierbei wird stillschweigend vorausgesetzt, daß\ diese kanonischen Darstellungen eine Anzahl von \(\varrho\) willkürlichen Parametern \(p_1, \dots, p_\varrho\) mit sich führen. Endlich kann man nach den besonderen Eigenschaften der Form \(\omega\) fragen und nach dem Zusammenhange dieser Eigenschaften mit denen der Formen \(f_i\). So kann man z. B. nach allen Systemen von \(p\) Formen \(f_i\) fragen, zwischen denen eine quadratische Identität besteht, u. s. f. Für binäre Formen \((p=2)\) ist die Beantwortung aller dieser Fragen sehr einfach. Auch für ternäre Formen \((p=3)\) finden sich jene Fragestellungen in der Literatur alle beantwortet, wenn sie auch nicht gerade in den obigen Formulierungen ausgesprochen sind. Für Formen von mehr als drei Variabeln \((p>3)\) liegt das bekannte Spezialresultat von \textit{Gordan-Noether} vor über das identische Verschwinden der \textit{Hesse}schen Form (''F. d. M. \textit{8}, 64, 1876, siehe JFM 08.0064.03, JFM 08.0064.04 u. JFM 08.0064.05''). Es gelingt dem Verf., unter andern verallgemeinernden Ergebnissen, alle Systeme von 5 abhängigen quinären quadratischen Formen aufzuzählen, wobei die Anzahl der sich ergebenden Systeme nur eine geringe ist. Dem ersten, rein algebraischen Teile der Arbeit schließt sich ein zweiter an, der sich geometrischer Vorstellungen bedient, wodurch die im ersten Teil verwendeten Methoden in instruktiver Weise ergänzt werden. Auf das Studium der interessanten und inhaltsreichen Abhandlung sei besonders hingewiesen.