Über die vollständig reduzibeln Gruppen, die zu einer Gruppe linearer homogener Substitutionen gehören. (Q1500890)

\(\mathfrak G\) sei eine Gruppe linearer homogener Substitutionen \(S\) in \(n\) Variabeln \(x\), d. i. eine Gesamtheit von \(S\) derart, daß\ das Produkt zweier \(S\), sowie die Inverse jeder \(S\) von \(\mathfrak G\) in \(\mathfrak G\) enthalten ist. \(\mathfrak G\) heißt ``reduzibel'', wenn man \(\nu<n\) lineare homogene Kombinationen der Variabeln mit konstanten Koeffizienten bilden kann, die durch jede \(S\) von \(\mathfrak G\) nur untereinander transformiert werden. Mit anderen Worten, man kann vermöge neuer Variabeln \(y\) die Gruppe \(\mathfrak G\) so transformieren, daß\ \(\nu\) der \(y\) für sich eine lineare Transformation erleiden. Eine Gruppe \(\mathfrak G\) heißt im besonderen ``vollständig reduzibel'', wenn man durch Einführung neuer Variabeln erreichen kann, daß\ nunmehr die Variabeln in eine Reihe von \(\lambda\) Systemen zerfallen, sodaß\ die Variabeln eines jeden Systems sich nur untereinander transformieren, und wenn überdies die Gruppen dieser einzelnen Variabelnsysteme irreduzibel sind. Besteht die Reihe nur aus einem einzigen System \((\lambda=1)\), so entsteht der Spezialfall der irreduzibeln Gruppen. Mit solchen vollständig reduzibeln Gruppen hatten sich bereits der Verf. (F. d. M. \textit{34}, 169, 1903, JFM 34.0169.00) und \textit{E. Dickson} (F. d. M. \textit{34}, 168, 1903, JFM 34.0168.00), sowie \textit{I. Schur} (F. d. M. \textit{32}, 165, 1901, JFM 32.0165.00) beschäftigt. Der Verf. beweist zunächst das Theorem: ``Jede Gruppe linearer \(S\), die eine definite \textit{Hermite}sche Form in sich transformiert, ist vollständig reduzibel.'' Vergleicht man dies mit dem vom Verf. und von \textit{Moore} (F. d. M. \textit{27}, 106 und 241, 1896 (JFM 27.0106.01, JFM 27.0106.02 und JFM 27.0241.02)) aufgestellten Satze, daß\ zu jeder endlichen Gruppe von \(S\) eine invariante definite \textit{Hermite}sche Form gehört, so folgt der \textit{Maschke-Frobenius}sche Fundamentalsatz (F. d. M. \textit{28}, 130, 1897 (JFM 28.0130.01); \textit{29}, 129, 1898 (JFM 29.0114.04 ?), daß\ jede endliche Gruppe von \(S\) vollständig reduzibel ist. Umgekehrt ist aber nicht jede reduzible Gruppe von \(S\) vollständig reduzibel. Sieht man ähnliche Gruppen als nicht verschieden an, so leitet in dieser Hinsicht der Verf. den für die Theorie der unendlichen Gruppen von \(S\) fundamentalen Satz her: ``Zu jeder Gruppe \(\mathfrak G\) von \(S\) gehören \(\mu\) vollständig reduzible Gruppen von \(S\); diese sind, ebenso wie die irreduziblen Bestandteile von \(\mathfrak G\), eindeutig bestimmt. Diese \(\mu\) Gruppen sind aber auch ihrer Reihenfolge nach eindeutig festgelegt. Die Gesamtzahl der Variabeln der \(\mu\) Gruppen ist gleich der Variabelnzahl von \(\mathfrak G\). Für \(\mu=1\) ist \(\mathfrak G\) vollständig reduzibel.'' Man gelangt zu diesen \(\mu\) Gruppen so. Die Gruppe \(\mathfrak G\) kann durch eine konstante Matrix \(P\) in eine ähnliche Gruppe der besonderen Form transformiert werden, daß\ die rechts von der Hauptdiagonale stehenden Matrizenelemente alle verschwinden, so daß\ die in der Hauptdiagonale befindlichen \(\mu\) Matrizenelemente vollständig reduzible Gruppen definieren. Wie der Verf. sich ausdrückt, ``wird hierdurch \(\mathfrak G\) in eine ähnliche Gruppe transformiert unter Hervorhebung aller aufeinander folgenden größten vollständig reduziblen Gruppen''. Eine darartige Darstellung ist nicht eindeutig. Wie aber auch \(\mathfrak G\) in der angegebenen Weise transformiert werden mag, so sind die vollständig reduziblen Gruppen, die sich bei zwei verschiedenen Ausführungen der Transformation ergeben, einander der \textit{der Reihe nach} zugeordnet, so daß\ zwei zugeordnete vollständig reduzible Gruppen gleichviele Variabeln haben und ähnlich sind. Der Begriff der vollständigen Reduzibilität einer Gruppe von \(S\) läßt sich auf den besonderen Fall übertragen, wo die Koeffizienten aller \(S\) Zahlen eines bestimmten unendlichen Zahlkörpers \(\varOmega\) sind. Für derartige Gruppen werden dann die oben genannten Eigenschaften erweitert.